Moin moin, ich versuchen über den Mittelfwertsatz der Differentialrechnung herauszufinden ob die Funktion f(x)=x+1/x^2 auf dem Intervall [2,inf[ kontrahiert. Momentan hab ich damit noch so meine Schwierigkeiten.
Es muss ja die Ungleichung |f(x)-f(y)|≤(x-y) gelten.
Der Mittelwertsatz müsste dabei ja eigentlich helfen. Allerdings weiß ich nicht wie ich mit dem unendlich als Intervallgrenze umgehen soll.
Gruß & Danke
Keine Ahnung, sorry
Hallo,
ich fürchte, da kann Dir jemand anderer besser weiterhelfen.
Bei Limes-berechnungen grundsätzlich mal für x große Zahlen einsetzen und schauen, wie sich das Ergebnis entwickelt.
LG U
Sehr geehrter Herr Sellschopp,
was halten Sie hiervon:
(i)
Für Ihre Funktion gilt f’(x) = 1 - 2/x^3.
Für alle x >= 2 folgt daraus 0
Super, jetzt ists klar 
Vielen Dank
Wenn kontrahieren heissen soll, dass x+1/x^2 konvergiert, dann ist das doch wegen x -> unendlich offensichtlich nicht der Fall.
Walter
Hallo till.sellschopp,
nach dem genannten Mittelwertsatz gilt doch für a**:
\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(x) \quad\mbox{mit einem }x \in (a, b),
also:
\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 1-\frac{2}{x^3} 2.
Damit ist:
f(b)-f(a) .
Schöne Grüße,
Manfred**
Mhh, mit dem Unendlich komme ich auch nicht klar, da der Mittelwertsatz eindeutig ein abgeschlossenes Intervall fordert. Vielleicht kann man so argumentieren, dass in dem Intervall [2;inf[jedes abgeschlossene Intervall [2;b] liegt mit 2>b.
Sonst: (f(x)-f(y))/(x-y) = 1-(a+b)/(a^2*b^2) (Also ist die rechte Seite f’(x0) für ein x0 aus [2;inf[.)
Die rechte Seite ist auf jeden Fall kleiner als 1, da a und b größer als 2 sind und damit der abzuziehende Bruch größer als 0. Außerdem ist er größer als 0, da er gleich 1/(a*b^2) + 1/(a^2*b) ist. Damit gibt es eine Lipschitz-Konstante, die die geforderte Bedingung erfüllt.
[2;inf[ wird durch f auf sich selbst abgebildet, da f streng monoton steigend, stetig und in [2;inf[ definiert ist und f(2) > 2.
Danke, genau das war, wonach ich gesucht hab. nachträglich nurnoch die Anmerkung, dass die Ableitung im unedlichen gegen 1 konvergiert. Somit ist die Bedingung für eine Kontraktion nicht gegeben. (Die Ableitung müsste echt kleiner 1 sein. ->Lipschitz)
Gruß
Till