Beweis: Wurzel aus 2 irrational

Wissenschaft Physik
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Hy!

Wir haben zwar schon einen Beweis aufgestellt, jedoch verstehe ich ihn nicht. Der Lehrer hat sich überreden lassen, es uns wenigstens ein zweites mal zu erklären - doch wieder blicke ich 0 durch.

So haben wir’s gemacht:

A: Wurzel aus 2 ist kein Element aus Q
nicht A: Wurzel aus 2 ist ein Element aus Q => Wurzel aus 2 = a/b Element Z

Bruch soweit wie möglich gekürzt => gemeinsamer Teiler von a und b relativ prim

[[was heißt relativ prim und was ist damit gemeint???]]

Wurzel aus zwei = a/b |²

2 = a²/b² | *b²

2b² = a²

=> a² ist durch 2 teilbar => auch a ist durch 2 teilbar das ² von ungeraden Z. ist auch ungerade

[[aber wenn ich jetzt sage a=5 kann man weder 25 noch 5 durch 2 teilen - was soll das?]]

=> a = 2x

2b² = (2x)²
2b² = 4x² |:2
b² = 2x²

=> b² und auch b sind durch 2 teilbar

a und b sind daher nicht RELATIV PRIM [[???]] => Widerspruch!

d. h.: die Wurzel aus zwei ist kein Element aus Q

Wäre echt nett wenn mir jemand die Fragen in den [[…]] beantworten könnte :smile:

Ganz liebe Grüße

Nicki

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Hallo.

Irgendwie war das schon mal da: http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…

mfg M.L.

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hi,

Wir haben zwar schon einen Beweis aufgestellt, jedoch verstehe
ich ihn nicht. Der Lehrer hat sich überreden lassen, es uns
wenigstens ein zweites mal zu erklären - doch wieder blicke
ich 0 durch.

So haben wir’s gemacht:

A: Wurzel aus 2 ist kein Element aus Q
nicht A: Wurzel aus 2 ist ein Element aus Q => Wurzel aus 2
= a/b Element Z

Bruch soweit wie möglich gekürzt => gemeinsamer Teiler von
a und b relativ prim

[[was heißt relativ prim und was ist damit gemeint???]]

der bruch ist gekürzt, es gibt keine gemeinsamen primzahlen von a und b mehr. (das geht immer; man kann jeden bruch so weit kürzen.)

Wurzel aus zwei = a/b |²

2 = a²/b² | *b²

2b² = a²

=> a² ist durch 2 teilbar => auch a ist durch 2 teilbar
das ² von ungeraden Z. ist auch ungerade

[[aber wenn ich jetzt sage a=5 kann man weder 25 noch 5 durch
2 teilen - was soll das?]]

wenn a² = 2b² , ist a² eine gerade zahl. also muss auch a gerade sein.
a² könnte also nie so was wie 25 sein.

=> a = 2x

2b² = (2x)²
2b² = 4x² |:2
b² = 2x²

=> b² und auch b sind durch 2 teilbar

jetzt dasselbe mit b … es müsste also auch b gerade sein. das ist ein widerspruch zur annahme, dass a und b relativ prim, der bruch a/b also maximal gekürzt ist.

a und b sind daher nicht RELATIV PRIM [[???]] =>
Widerspruch!

d. h.: die Wurzel aus zwei ist kein Element aus Q

ich denk, es geht ein bisschen einfacher, wenn man die anzahl von primfaktoren (die ja bis auf 1en eindeutig ist) berücksichtigt.

(a/b)^2 = 2 als annahme, so dass a und b relativ prim sind, der bruch also gekürzt.

dann ist a^2/b^2 = 2
dann ist a^2 = 2 b^2
a^2 hat dann eine gerade anzahl von primfaktoren (nämlich alle bon a doppelt)
b^2 ebenfalls.
aber 2 b^2 hat eine ungerade anzahl von primfaktoren, nämlich alle von b doppelt und den 2er.
das geht nicht. also gibts keinen bruch, der zum quadrat 2 ergibt.

hth
m.

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Cool Dankeschön Michael!!!

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Hallo,

…und um noch Deine Frage nach dem sonderbaren Ausdruck „relativ prim“ zu beantworten: Das ist ein Anglizismus, entstanden durch die dümmliche Nichtübersetzung des englischen relative prime. Sag Deinem Lehrer, dass das deutsche Wort dafür teilerfremd ist.

Gruß
Martin

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Hy!

Heryng.

http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids_Beweis_der_Irra…

Gruß Eillicht zu Vensre