Hallo www-ler,
Ich pauke gerade auf meine Vordiplomsprüfung und wollte von euch wissen, ob folgender Beweis richtig ist, oder ob ich irgendwo einen Denkfehler eingebaut habe.
Behauptung: Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann ist die Relation {(x,y)€ G X G | (x^-1)*y € U} eine Äquvalenzrelation und die Äquivalenzklassen dieser Relation sind :={x*u|u € U}.
Beweis:
1.) Reflexivität: x~x, denn (x^-1)*x= e (e = neutrales Element)
2.) Transitivität: Sei z~x und x~y. Dann gilt
(z^-1)*x € U und (x^-1)*y € U nach Definition der Relation.
Also ist z~y denn es gilt: [(z^-1)*x]*[(x^-1)*y] =
(z^-1)*e*y = z^-1*y € U, weil die eckigen Klammern jeweils aus U kommen und U abgeschlossen ist.
3.)Symmetrie: Sei x~y, d.h. (x^-1)*y € U. Dann muss auch ((x^-1)*y))^-1 € U und ((x^-1)*y))^-1 = (y^-1)*x € U und damit ist auch y ~ x.
Es bleiben jetzt nur noch die Äquivlanezklassen zu zeigen.
Erste Inklusion: Sei y € . Man muss y = x*u, u € U zeigen. Aus y € folgt, dass y ~ x und wegen der Symmetrie auch x ~ y. Also gilt (x^-1)*y € U.
Sei u:= (x^-1)*y. Dann ist x*u= x*((x^-1)*y)= e * y = y
Zweite Inklusion: Sei y = x*u, u € U. Man muss y € zeigen.
(y^-1)*x = ((u^-1)*(x^-1))*x = (u^-1)*e = (u^-1) € U, weil u € U war. Also ist y €
