Beweis zu Folgen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

Ich habe folgenden mathematischen Satz zu beweisen:

Sei f : (a, b) --> IR beliebig oft differenzierbar und p ein Element der Menge (a, b). Es gebe eine Folge a_n mit lim a_n = p (für n gegen unendlich).
a_n € (a, b),
a_n != p
und f(a_n)=0 für alle n aus IN.

*** Anmerkung: „!=“ soll „ungleich“ bedeuten und „€“ soll „ist ein Element von…“ bedeuten ***

Nun soll gezeigt werden, dass f’§=0 gilt
und dass dies auch für alle Ableitungen gilt, also
f^(n)§=0 für alle natürlichen Zahlen n
Jede Ableitung von f an der Stelle p soll also null sein.

Wie kann man das streng mathematisch beweisen? Ich hab schon viel Zeit vertan - komme aber nicht auf einen vernünftigen Lösungsansatz.

Hat jemand eine Idee hierzu?

Danke schon mal im Voraus,
Lisa

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hi,

Ich habe folgenden mathematischen Satz zu beweisen:

Sei f : (a, b) --> IR beliebig oft differenzierbar und p
ein Element der Menge (a, b). Es gebe eine Folge a_n mit lim
a_n = p (für n gegen unendlich).
a_n € (a, b),
a_n != p
und f(a_n)=0 für alle n aus IN.

*** Anmerkung: „!=“ soll „ungleich“ bedeuten und „€“ soll „ist
ein Element von…“ bedeuten ***

Nun soll gezeigt werden, dass f’§=0 gilt
und dass dies auch für alle Ableitungen gilt, also
f^(n)§=0 für alle natürlichen Zahlen n
Jede Ableitung von f an der Stelle p soll also null sein.

eine „übung“ über das existieren von grenzwerten; bis f’§ = 0 müsste folgendes funktionieren:

ich würde zunächst einmal f§ = 0 beweisen:

da f differenzierbar ist, muss
lim(n->oo) (f(a_n) - f§)/(a_n - p)
existieren.

da alle f(a_n) = 0 sind, heißt das:
lim(n->oo) (f(a_n) - f§)/(a_n - p) =
= - lim(n->oo) f§/(a_n - p) existiert.
da der nenner gegen 0 geht, ist das nur möglich, wenn der zähler 0 ist.

also: f§ = 0

dann ist f’§ = lim(n->oo) (f(a_n) - f§)/(a_n - p) =
(wegen der differenzierbarkeit von f müssen alle solcherart gebildeten grenzwerte existieren und gleich sein)
= lim(n->oo) (0-0)/(a_n - p) = 0

also: f’§ = 0

für die höheren ableitungen fehlt mir noch was:

f"§ = lim(n->oo) (f’(a_n) - f’§)/(a_n - p) muss existieren
(wegen der bel.o.differenzierbarkeit von f.)

f"§ = lim(n->oo) (f’(a_n) - f’§)/(a_n - p) =
= lim(n->oo) f’(a_n)/(a_n - p)

wieder: da der nenner gegen 0 geht, kann der grenzwert nur existieren, wenn der zähler gegen 0 geht

also: lim(n->oo) f’(a_n) = 0

aber das garantiert noch kein f"§ = 0.
???

hth
m.

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hi,

Ich habe folgenden mathematischen Satz zu beweisen:

Sei f : (a, b) --> IR beliebig oft differenzierbar und p
ein Element der Menge (a, b). Es gebe eine Folge a_n mit lim
a_n = p (für n gegen unendlich).
a_n € (a, b),
a_n != p
und f(a_n)=0 für alle n aus IN.

*** Anmerkung: „!=“ soll „ungleich“ bedeuten und „€“ soll „ist
ein Element von…“ bedeuten ***

Nun soll gezeigt werden, dass f’§=0 gilt
und dass dies auch für alle Ableitungen gilt, also
f^(n)§=0 für alle natürlichen Zahlen n
Jede Ableitung von f an der Stelle p soll also null sein.

Hi !

Am einfachsten geht das denke ich mit der Taylorentwicklung von f.
Zunächst zeigt man, dass f§=0. Da f differenzierbar ist, ist es insbesondere stetig, also
f§=f(lim an)=lim f(an)=lim 0=0
Taylorentwicklung von f um p liefert jetzt
0=0-0=f(an)-f§=∑(von 1 bis ∞)f(k)§/k! * (an-p)k

D.h. 0=f’§*(an-p)+O(|an-p|2)
Da an≠ p kann man durch an-p teilen und erhält 0=f’§+O(|an-p|). Für n->∞ folgt also, dass f’§=0, also geht die Summe nur von 2 bis ∞ .
Diesen Schritt kann man jetzt belieig oft wiederholen (sozusagen vollständige Induktion) und damit zeigen, dass alle Ableitungen in p 0 sind.

Grüße

hendrik

4

Hallo Michael und Hendrik,

vielen Dank für eure Antworten.
Ihr habt mir sehr weitergeholfen.

Grüße,
Lisa