Hallo Sven:
Hi
Ich hab das unabhängig von den beiden mal probiert und komme
zu einem Ergebnis, das gleich ist, aber vielleicht etwas
leichter verständlich ist und ich kommentiere das mal.
Zuerst vor den Erklärungen:
Will man die natürlichen Zahlen von 1 bis n zusammenzählen
dann ist diese Summe n*(n+1)/2. Rechnest Du von 1 bis (n-1)
ist es natürlich n*(n-1)/2
Das nennt man den kleinen Gauß nach Carl Friedrich Gauß, dem
Princeps der Mathematiker und es wird hier vorgestellt:
http://www.matheakademie.de/wissen/kleiner_gauss.html
Richtig, damit hatte ich auch versucht(?) zu arbeiten.
Meine Formel lautet:
[2n-1]^2 + [4*n*(n-1)/2]^2 - [4*n*(n-1)/2+1]^2 = 0
Meine Formel:
n(n+1) n(n+1)
{3+2(n-1)}^2 +{4+4[-------- -1]}^2-{5+4[-------- -1]}^2 = 0
2 2
Der erste Summand [2n-1]^2 liefert für n=2 die 3^2
Der zweite Summand [4*n*(n-1)/2]^2 liefert für n=2 die 4^2
Der zweite Summand -[4*n*(n-1)/2 +1]^2 liefert für n=2 die
-5^2
Bei mir:
Der erste Summand {3+2(n-1)}^2 liefert für n=1 (I.Gl) die 3^2
Der zweite Summand {4+4[n(n+1)/2-1]}^2 liefert für n=1 die 4^2
Der dritte Summand -{5+4[n(n+1)/2-1]}^2 liefert für n=1 die -5^2
Wie komm ich darauf?
Der erste Teil ist relativ trivial und ich hab ihn deshalb
hingeschrieben.
Der erste Summand in der ersten Gleichung ist 3^2; in der zweiten Gleichung 5^2, also wird immer das nächste Vielfache von 2 zu 3 addiert (und dann quadriert).In der ersten Gleichung das ‚nullte‘ Vielfache , in der zweiten das erste Vielfache…
3+2*0 ; 3+2*1 ; 3+2*2 ; 3+2*3
Beim zweiten hab ich mir die Reihe 4,12,24,40 angesehen. Da
alle durch 4 teilbar sind hab ich das einfach mal getan um zu
sehen, was rauskommt:
1,3,6,10
Mit etwas Erfahrung sieht man, dass dies die Aufsummierung der
natürlichen Zahlen ist. Also denk ich an n*(n+1)/2, muss das
aber wieder mit 4 multiplizieren, denn ich hab ja grad die
Zahlen durch 4 geteilt:
Versuch ich jetzt 4*n*(n+1)/2 und setzte n=2 ein, denn das
brauchte ich ja im ersten Summanden für die „3“, dann kommt
hier aber 4*2*(2+1)/2=12 raus. Mist! Ich brauchte nur „4“.
Summiert man aber nur bis n-1 auf, dann klappt es…
Ich habe mir ebenfalls die Reihe 4,12,24,40 angeschaut und überlegt wie das aussehen müsste,nämlich:
4+4*0 ; 4+4*2 ; 4+4*5 ; 4+4*9
Die Zahlen 0,2,5,9 haben ‚Ähnlichkeit‘ mit 1,3,6,10, also habe ich unseren kleinen Gauß angewandt jedoch immer am Schluss 1 subtrahiert.
Der letzte dritte Summand ist wieder trivial, wenn der zweite
klar ist. Hoffentlich war das verständlich.
Hier ist es eigentlich das gleiche in grün nur das jetzt da steht:
5+4*0 ; 5+4*2 ; 5+4*5 ; 5+4*9
VG, Stefan
PS.: Die Reihe beginnt auch schon im positiven früher, man
kann nämlich n=1 einsetzen und man kriegt
1^2+0^2-1^2=0
Nicht überraschend, da die Gesetzmäßigkeit für jedes n,
postiv, negativ, ganzzahlig gilt, aber dennoch erwähnenswert,
finde ich.
Stimmt,nur müsste man bei meiner Gleichung n=0 setzen.
Es scheint als gebe es für diesen Beweis mehrere Möglichkeiten, wenn ich denn richtig gedacht habe…
Deine Lösung erscheint mir logisch, kannst du mir sagen, ob mein Lösungsweg auch als Beweis durchgehen würde?
MfG Sven
