Ich beschäftige mich z.Zt. mit folgender Aufgabe: Sei p>3 Primzahl. Zeige, p ist von der Form p=6k PlusMinus 1 mit k aus IN.
Mir ist hierbei bisher aufgefallen, dass wenn k=5m+4 mit m aus den natuerlichen Zahlen inkl. der Null, die Zahl „6k+1“ immer durch fünf teilbar ist. Das ist aber eigentlich eher untypisch für Primzahlen. Genauso wenig darf ich (6k PlusMinus 1) durch 2,3 oder 7 teilen können. Jedenfalls nicht so, dass etwas ganzzahliges herauskommt.
Und wie zeigt man das jetzt? Gleichheitszeichen ist dieses dreier Gleichheitszeichen, typisch für die Division mit Rest.
Es muss gelten
(6k+1) = 2 mod n
und
(6k+1) = 3 mod n
und
(6k+1) = 5 mod n
und
(6k+1) = 7 mod n
selbiges für minus.
Na ja, zumindest theoretisch. Wie ich bereits gemerkt habe, stimmt das nicht mehr für 5m+4.
Mein Beweis fasst also nicht einmal Fuß, weil ich das 5m+4 auch nur durch Ausprobieren gefunden habe… Und das das mit dem Modulo ist wahrscheinlich schon einmal falsch aufgeschrieben und vermutlich auch kein geschickter Weg.
Was könnt ihr empfehlen?
Sei p>3 Primzahl. Zeige, p ist von der Form p=6k
PlusMinus 1 mit k aus IN.
das ist einfacher als du glaubst…
es geht ja nicht darum, zu beweisen, p=6k+/-1 ist immer prim
ist (was ja auch nicht stimmt), sondern daß jede primzahl 3. Die naechst hoehere Primzahl ist 5 = 6*1-1
Also so ganz verstehe ich nicht, was mir die Aufgabe sagen
soll… Ich dachte, mit der Formel lassen sich immerwieder
neue Primzahlen finden.
Nein. Eher umgekehrt: Wenn du nach Primzahlen suchen willst, musst du (zumindest ab 5) nur welche anschauen, die man als 6k±1 schreiben kann.
und das wiederum beweist man, indem man das gegenteil
ausschließt.
6k kann nicht prim sein, das ist evident.
6k+/-2 auch nicht.
6k+/-3 auch nicht.
6k+/-4 auch nicht.
6k+/-5 ist wiederum auch 6k+/-1.
6+1 sind sieben.6*2+1 sind 13. 6*2 - 5 = 7, 6*3-5 = 13
Richtig, stimmt dass 6k +/- 1 das selbe ich wie 6k +/- 1.
Nur wie zeigt man das? Also ich hätte es so nicht erkannt.
Mindestens einmal hast du eine 1 statt 5 geschrieben.
Der Beweis ist einfach: Wenn eine Zahl n = 6k + 1 ist, kann man sie auch als n = 6k + 1 + 6 - 6 = 6(k+1) - 5 schreiben. Analog fuer umgekehrte Vorzeichen.
Wenn du Modulo kennst (also Rest einer Division), dann kommt dir das ganze vielleicht bekannt vor…
Sei p>3 Primzahl. Zeige, p ist von der Form p=6k
PlusMinus 1 mit k aus IN.
das ist einfacher als du glaubst…
es geht ja nicht darum, zu beweisen, p=6k+/-1 ist immer prim
ist (was ja auch nicht stimmt), sondern daß jede primzahlnotwendig, aber nicht hinreichend.
Wie kann denn 2 durch die Formel 6k +/- 1 entsprechen?
Überhaupt nicht. Alle Primzahlen werden durch 6 k ± 1 mit jeweils passenden k’s „erfaßt“, aber umgekehrt „produziert“ 6 k ± 1 keineswegs alle Primzahlen – es produziert noch nicht mal ausschließlich Primzahlen!
K ist ja Element aus IN. Mit k=2 wäre ich ja bereits bei 11.