Hi,
kann mir jemand bei den beiden Beweisen helfen:
Für 00 existiert n Element N: a^n
indirekt
HAllo,
kann mir jemand bei den beiden Beweisen helfen:
Für 00 existiert n Element N:
a^n
- Beweis
Hallo,
lim nter Wurzel aus n =1
ok, auch nicht so mathematisch 100%ig korrekt, aber plausibel:
nte Wurzel aus n = n^1/n = exp(ln(n^1/n)=exp(1/n*ln(n))
Und nun gibt es den schönen Satz: jede Potenz „schlägt“ jeden Logarithmus, d.h. hier: der Grenzwert des Produktes:
1/n*ln(n) wird durch 1/n bestimmt. ist also gleich Null.
Somit habe ich im Grenzfall: lim n^1/n = exp(0)=1
Vielleicht reicht dir das ja.
Gruß
OLIVEr
Hallo mecy,
Für 00 existiert n Element N:
a^n 0
In der neuen Darstellung lautet a^n dann:
a^n=1/(1+d)^n
So, nun müssen wir zeigen, daß das Ganze kleiner als jedes gegebene e gemacht werden kann. Hierzu „schiebt“ man zwischen a^n und e einen Term ein. Verlangt man von diesem, daß er immer noch kleiner als e ist, so ist die verlangte Ungleichung erst recht erfüllt. Außerdem müssen wir zeigen, daß ein geeignetes n existiert, was bedeutet wir müssen einen entsprechenden Wert für n bestimmen. Hierzu muß n aus dem Exponenten „heruntergeholt“ werden, wozu prinzipiell zwei Möglichkeiten zur Verfügung stehen:
- Logarithmieren oder
- Ungleichung von Bernoulli: (1+d)^n>1+n*d
(für n>=2 und d>-1 und d ungleich 0)
Nach Anwendung der Ungleichung von Bernoulli erhält man:
a^n = 1/(1+d)^n 1/e - 1 (1-e)/(ed) 0 gibt es ein N_epsilon Element N, so daß für alle n>N_epsilon gilt:
|n. Wurzel(n)-1| =1 n. Wurzel(n) > n. Wurzel(1)=1, so daß die Betragsstriche weggelassen werden können:
z.z.: Nach Wahl von einem beliebigen epsilon gilt für „genügend große“ n:
n. Wurzel(n)-1 n. Wurzel(n)
n Binomi verwenden
Zu zeigen:
n Fordern wir sogar:
n =2)
Die linke Seite der Ungleichung liefert:
1