Hallo,
wir bekommen wöchentlich ein Blatt mit 6-10 Beweisen, die zu führen sind. Diese Woche haben wir bei zwei Beweise die mit Induktion gemacht werden können, aber nicht müssen (glauben wir) noch Probleme und hoffen, dass jemand uns vielleicht (besonders beim 2. Beweis) die Idee bzw. den „roten Faden“ erklären kann. Falls jemand dazu Lust hat, schon mal vielen Dank im Voraus!
- Beweis:
m element Z => T(m):=11^(m+2)+12^(2m+1) ist immer durch 133 teilbar
- wir haben es umgeschrieben in:
133n=11^(m+2)+12^(2m+1) für alle n element N
- Beweis:
Wenn a element (1,unendlich), dann gibt es zu jedem b element (0,unendlich) ein n element N mit a^n>b
MfG Flo
hi,
mit vollständiger induktion beweist man aussagen über natürliche zahlen (oder über mengen, die den natürlichen zahlen sehr „entsprechen“)
- Beweis:
m element Z => T(m):=11^(m+2)+12^(2m+1) ist immer durch 133
teilbar
- wir haben es umgeschrieben in:
133n=11^(m+2)+12^(2m+1) für alle n element N
das „umschreiben“ führt hier lediglich eine neue variable ein, ohne etwas zu leisten.
induziert einfach über das m der formel:
induktionsanfang: m=0.
T(0) = 11^2 + 12^1 = 121 + 12 = 133 ist durch 133 teilbar
induktionsschritt:
sei 11^(m+2)+12^(2m+1) durch 133 teilbar.
dann ist 11^(m+3)+12^(2(m+1)+1) = 11 * 11^(m+2) + 12^(2m+1+2) =
= 11 * 11^(m+2) + 144 * 12^(2m+1) =
= 11 * (11^(m+2) + 12^(2m+1)) + 133 * 12^(2m+1).
nachdem die klammer nach dem 11er nach induktionsvoraussetzung und der ausdruck hinter der klammer sowieso immer durch 133 teilbar sind, wäre das damit bewiesen.
allerdings nur für m element N; war wirklich Z gemeint ???
dann müsstet ihr evtl. noch „in die andere richtung induzieren“.
- Beweis:
Wenn a element (1,unendlich), dann gibt es zu jedem b element
(0,unendlich) ein n element N mit a^n>b
das ist eigentlich keine aussage über natürliche zahlen und also für einen induktionsbeweis nicht wirklich geeignet.
ich denke, es geht hier eher ums archimedische prinzip.
schwer zu sagen, was ihr hier an reellen zahlen und entsprechenden funktionen gemacht habt und als „inventar“ vorliegen habt, aber im prinzip lässt sich das n natürlich konstruieren.
a^n > b
d.h.
n * log a > log b
d.h.
n > log b / log a, weil log a > 0 (weil a > 1)
hth
m.
Nur zu 2.), da ich zu 1.) jetzt keine Zeit habe:
Wenn die Eigenschaften der Logarithmus-Funktion vorausgesetzt werden dürfen:
Wir betrachten n*=logab.
Diese reelle Zahl n existiert, und es gilt aufgrund der strengen Monotonie der Logarithmusfunktion für alle natürlichen Zahlen n>n: an>b.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo!
Wenn a element (1,unendlich), dann gibt es zu jedem b element
(0,unendlich) ein n element N mit a^n>b
n=1:
Für alle a element(1, unendlich) gibt es ein b element (0,unendlich): a>b.
Diese Aussage ist offensichtlich wahr.
n -> n+1:
Für alle a element(1, unendlich) gibt es ein b element (0,unendlich): a^(n+1)>b
a^n * a > b
a^n ist nach der Induktionsvoraussetzung > b. Also darf man auch schreiben:
b * a > b
Da a>1, ist auch diese Aussage offensichtlich wahr.
q.e.d.
Michael
Wo ist hier der Bezug zur Aufgabenstellung ?
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Zu 2.) habe ich noch eine weitere Idee:
Da gelten soll 1 0.
Es sei nun b eine beliebige Zahl > 0.
Bewiesen werden soll die Behauptung:
Es gibt eine natürliche Zahl n, so daß gilt
an > b.
Dazu betrachten wir
an = (1 + x)n
Nach der Binomischen Formel ergibt sich
(1 + x)n = 1 + n * x + … (weitere Glieder, alle positiv)
Wir können also abschätzen:
an = (1 + x)n = 1 + n * x + … > 1 + n * x,
also an > 1 + n * (a - 1) (*)
Wenn wir nun die Ungleichung 1 + n * (a - 1) > b nach n auflösen, erhalten wir:
n > (b - 1) / (a - 1)
Für alle natürlichen Zahlen n, welche diese Relation erfüllen, gilt wegen der Ungleichung (*) auch an > b.
Damit haben wir die Behauptung bewiesen.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Torsten,
Was ich bewiesen habe: Für jede natürliche Zahl n gibt es ein Zahlenpaar (a, b), für das gilt:
a^n > b
Wo ist hier der Bezug zur Aufgabenstellung ?
Keine Ahnung. 
(Sorry, ich hatte wohl gestern abend die Aufgabe falsch verstanden…)
Michael
Vielen Dank für den Beweis in Induktionsform, das ist für uns wirklich leichter nachvollziehbar als über Logarithmen!
Na toll, ich dachte, ich hätte es jetzt verstanden…
Noch als kurze Anmerkung zu Beweis 1:
Es sollten alle nichtnegativen ganzen Zahlen m element Z sein, also eigentlich m element N inklusive der null…
Hallo,
habe versucht diesen Weg auch nochmal nachzuvollziehen und komme mit den letzten 3 Zeilen nicht ganz zurecht.
"Wenn wir nun die Ungleichung 1 + n * (a - 1) > b nach n auflösen, erhalten wir:
n > (b - 1) / (a - 1)
Für alle natürlichen Zahlen n, welche diese Relation erfüllen, gilt wegen der Ungleichung (*) auch an > b."
Woher kommt jetzt diese Ungleichung: 1 + n * (a - 1) > b ?
Wieso gilt nach der umgestellt Ungleichung mit(*) automatisch a^n>b?
Ich stehe irgendwie auf der Leitung und möchte die Lösung nicht einfach nur „haben“, sondern auch verstehen. Wäre wirklich nett, wenn du zu den letzen drei Zeilen noch eine kurze Erklärung geben könntest.
Vielen Dank!!!
Hallo,
habe versucht diesen Weg auch nochmal nachzuvollziehen und
komme mit den letzten 3 Zeilen nicht ganz zurecht.
"Wenn wir nun die Ungleichung 1 + n * (a - 1) > b nach n
auflösen, erhalten wir:
n > (b - 1) / (a - 1)
Für alle natürlichen Zahlen n, welche diese Relation erfüllen,
gilt wegen der Ungleichung (*) auch an > b."
Woher kommt jetzt diese Ungleichung: 1 + n * (a - 1) > b ?
Die Ungleichung 1 + n * (a - 1) > b ergibt sich aus der zu beweisenden Behauptung.
Wir wollen zeigen, daß es immer eine natürliche Zahl n gibt, für die gilt an > b, wobei a und b gegeben sind (mit b > 0 und a > 1).
Zunächst haben wir über die Abschätzung mit der Binomischen Formel gezeigt, daß unter der Voraussetzung a > 1 immer gilt
an > 1 + n * (a - 1)
Wir untersuchen daraufhin, für welche n die rechte Seite dieser Ungleichung größer ist als das gegebene b.
Wieso gilt nach der umgestellt Ungleichung mit(*) automatisch
a^n>b?
Das folgt aus der Transitivität der Relation „>“ :
Wenn gilt A > B
und B > C,
so gilt immer auch A > C.
Ich stehe irgendwie auf der Leitung und möchte die Lösung
nicht einfach nur „haben“, sondern auch verstehen. Wäre
wirklich nett, wenn du zu den letzen drei Zeilen noch eine
kurze Erklärung geben könntest.
Vielen Dank!!!
Ah, jetzt hat es endlich klick gemacht!!!
Vielen Dank für diese konstruktive Hilfe!
Darf man fragen woher du das alles so gut kannst? Mathe studiert?