Hallo!
Ich hab’ n Problem bei den Matheha’s -.-
Wir sollen zwei ‚Formeln‘ beweisen, nur irgendwie krieg’ ich
das nicht hin… Könnt ihr mit helfen?
Sei u(x) eine Differenzierbare Funktion und f(x)=c*u(x),
dann gilt: f’(x)=c*u’(x)
Seien u(x), v(x) zwei differenzierbare Funktionen und
f(x)=u(x)+v(x), dann gilt: f’(x)=u’(x)+v’(x)
Wie beweist man diese zwei Sachen? Ich weiß nur, dass man das
in die h-Methodenform einsetzen muss, aber wie? -.-
Die Form ist egal…
Du musst den Grenzwert in beiden Fällen einfach in zwei aufspalten.
mfg,
Ché Netzer
Hossa 
Dass man den Differentialquotienten benötigt, hast du ja bereits selber angesprochen. Zusätzlich muss man hier aber noch die wichtigste Rechenregel für Grenzwerte kennen. Man kann nämlich die 4 Grundrechenarten (+,-,*,/) „aus dem Limes herausziehen“. Als Formel geschrieben gilt:
\lim_{h\to0}\left[a(x)\circ b(x)\right]=\lim_{h\to0}a(x)\circ\lim_{h\to0}b(x)
wobei du den Kreis durch +, -, * oder / ersetzen musst. Dies geht aber nur, wenn die Grenzwerte von a(x) und b(x) unabhängig voneinander existieren! Bei der Division muss zusätzlich noch beachten werden, dass der Grenzwert von b(x) nicht Null sein darf. Dieselben Regeln gelten übrigens auch, wenn h gegen Unendlich laufen soll.
- Sei u(x) eine Differenzierbare Funktion und f(x)=c*u(x),
dann gilt: f’(x)=c*u’(x)
Einfach ohne großes Nachdenken einen Schritt nach dem anderen machen. Zuerst schreibst du den Differntialquotienten hin:
f^\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Darin kannst du f(x)=c*u(x) einsetzen:
f^\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{cu(x+h)-cu(x)}{h}
Jetzt kannst du c im Zähler ausklammern:
f^\prime(x)=\lim_{h\to0}\left[c\cdot\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\right]
Da u(x) laut Aufgabenstellung eine differenzierbare Funktion ist, existiert der Differenzialquotient für u(x) bzw. der Grenzwert für h gegen 0.
f^\prime(x)=c\cdot\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=c\cdot u^\prime(x)
- Seien u(x), v(x) zwei differenzierbare Funktionen und
f(x)=u(x)+v(x), dann gilt: f’(x)=u’(x)+v’(x)
f^\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Darin kannst du f(x)=u(x)+v(x) einsetzen:
f^\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{[u(x+h)+v(x+h)]-[u(x)+v(x)]}{h}
Etwas umsortieren ergibt:
f^\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)+v(x+h)-v(x)}{h}
Das kannst du in 2 Summanden aufteilen:
f^\prime(x)=\lim_{h\to0}\left[\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right]
Da sowohl u(x) als auch v(x) laut Aufgabenstellung differenzierbar sind, existieren die einzelnen Grenzwerte und du kannst die Addition „aus dem Grenzwert herausziehen“:
f^\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
f^\prime(x)=u^\prime(x)+v^\prime(x)
Viele Grüße
Hasenfuß
Hallo
Dankeschön für deine äußerst hilfreiche Antwort
Allerdings habe ich noch 'ne Frage.
Bei 1) kann ich den letzten Schritt nicht nachvollziehen …
lösen sich u(x+h)-u(x) wenn man h gegen 0 schiebt nicht auf? /:
Hi,
Bei 1) kann ich den letzten Schritt nicht nachvollziehen …
lösen sich u(x+h)-u(x) wenn man h gegen 0 schiebt nicht auf?
/:
Aber nein! Die Differenz wird doch durch h dividiert! Ich dachte, Du habest die Limes-Bildung beim Differenzieren verstanden…
Grüße von
enricoernesto
Hossa
Allerdings habe ich noch 'ne Frage.
Bei 1) kann ich den letzten Schritt nicht nachvollziehen …
lösen sich u(x+h)-u(x) wenn man h gegen 0 schiebt nicht auf?
Wenn du nur den Ausdruck u(x+h)-u(x) nimmst, hast du Recht. Du kannst für h die Null einsetzen und erhälst in der Tat u(x)-u(x). Und das ist gleich Null.
Allerdings steht u(x+h)-u(x) ja im Zähler eines Bruches, nämlich:
u’(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}
Wenn du im Bruch für h die Null einsetzt, würdest du durch Null dividieren, und das ist nicht möglich. Das führt dann zur Betrachtung des Grenzwertes. Man macht h immer kleiner und schaut, wie sich der Wert des Bruches dabei verhält.
Wenn du eine konkrete Funktionsgleichung für u(x) hast, musst du versuchen, den Bruch so umzuformen, dass du nicht mehr durch h dividieren musst. Dann kannst du für h die Null einsetzen und den Wert des Bruches ausrechnen.
Als Beispiel nehmen wir mal u(x)=x². Dann lautet die Ableitung:
u^\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}
Hier ist wieder dein Problem. Im Zähler kannst du h=0 einsetzen und es kommt (x+0)²-x²=0 heraus. Aber im Nenner kommt dann auch 0 heraus. Und Division durch 0 ist verboten. Du kannst aber den Zähler mit Hilfe der ersten binomischen Formel ausrechnen:
u^\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}
Jetzt kannst du den Bruch durch h kürzen bzw. die Division durch h tatsächlich durchführen:
u^\prime(x)=\lim_{h\to0}\left(2x+h\right)
Jetzt dividierst du nicht mehr durch h, so dass du h=0 einsetzen kannst. Dadurch wird gleichzeitig der Grenzwert berechnet:
u^\prime(x)=2x
Viele Grüße
Hasenfuß