Beweise: Abbildung injektiv, surjektiv oder bijekt

Wissenschaft Physik
#1

Hi,
wir haben folgende Definitionen von injektiv, surjektiv und bijektiv bekommen:

Abbildung: f: M->L
1.) injektiv: x,y E M x!=y => f(x)!=f(y)
2.) surjektiv: zu jedem y E L gibt es ein x E M für das f(x) = y gilt
3.) bijektiv: injektiv und surjektiv

Die Aufgabe ist wohl relativ leicht, jedoch
würde ich ganz gerne wissen ob sie richtig
gelöst ist, dazu gebe ich dann auch meine
Lösung an.

f(z): Z -> Z definiert durch f(z) = z+3

Behauptung: f(z) ist injektiv und surjektiv
und bijektiv

Beweis1:
Behauptung: f(z) ist injektiv
Annahme: f(z) ist nicht injektiv
Voraussetzung: z1 != z2 => f(z1) = f(z2)

Beweis:
f(z1) = z1 + 3
f(z2) = z2 + 3
Da f(z1) = f(z2) folgt:
z1+3=z2+3
=> z1=z2 Widerspruch zur Voraussetzung z1
!= z2 ==> Behauptung f(z) ist
injektiv ist richtig

Beweis2:
Behauptung: f(z) ist surjektiv
Beweis:
z+3 E Z
f(z)= y E Z
=> y=z+3
=> z=y-3 mit (y-3) E Z
=> f(y-3) = (y-3)+3 = y
=> Für jedes z E Z gibt es ein f(z) E Z
==> f(z) ist surjektiv

==> da f(z) injektiv und surjektiv ==> f(z)
ist bijektiv

// qed

Es wäre nett wenn mir jemand sagen könnte
ob dieser Beweis korrekt ist.
Eine Unstimmigkeit die mich beispielsweise
beschäftigt ist ob ich bei Beweis
1 einfach als Voraussetzung annehmen darf
das: nicht injektiv ==> z1 != z2 => f(z1) =
f(z2)

Vielen Dank im voraus
Sebastian

#2

Eine Unstimmigkeit die mich
beispielsweise
beschäftigt ist ob ich bei Beweis
1 einfach als Voraussetzung annehmen darf
das: nicht injektiv ==> z1 != z2 =>
f(z1) = f(z2)

Nein, Du möchtest einen indirekten Beweis durchführen und dazu das Gegenteil des zu Zeigenden annehmen:
Annahme: ES GIBT z1, z1 mit z1!=z2 UND f(z1)=f(z2)

Der Beweis ist der Injektivität ist ansonsten ok.

Zur Surjektivität: Du musst zeigen, das jedes Element der Bildmenge (Z) ein Urbild hat. Dazu nimmst Du ein beliebiges y E Z und gibst an, wie das Urbild (x E Z) dazu aussieht.

Mit dieser Information solltest Du es hinkriegen.

#3

Hi,
danke für deine Antwort.
Ich hätte da nochmal zwei Fragen.
1.) Wenn ich zeigen will, daß eine
Abbildung nicht surjektiv ist, dann reicht
es doch aus, ein Gegenbeispiel zu finden,
oder?
2.) Muß ich bei dem Beweis der Injektivität
nicht auch noch die andere Richtung
beweisen, d.h. die Annahme machen: z1=z2 =>
f(z1) != f(z2) und dies dann zum
Widerspruch führen.
Kann ich auch bei Injektivität ganz anders
vorgehen und mit Hilfe eines direkten
Beweises und der Komposition der Def von
Injektivität, also f(x1) = f(x2) => x1 = x2
zeigen, daß aus
f(x1) = x1+3
f(x2) = x2+3
=> x1+3=x2+3 ==> x1=x2

//qed

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#4

Hi,

die Injektivität deiner Abbildung ist direkt beweisbar.
Annahmme:z1!=z2
f(z1)=z1+3
f(z2)=z2+3
Zu beweisen: z1+3!=z2+3 ( -3 )

z1!=z2
Das ist grade die Vorraussetzung.

Max

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#5

Hi,
danke für deine Antwort.
Ich hätte da nochmal zwei Fragen.
1.) Wenn ich zeigen will, daß eine
Abbildung nicht surjektiv ist, dann
reicht
es doch aus, ein Gegenbeispiel zu finden,
oder?

Ja, tut es. (Du müßtest also, ein Element auf dem Bild finden, das kein Urbild besitzt).

2.) Muß ich bei dem Beweis der
Injektivität
nicht auch noch die andere Richtung
beweisen, d.h. die Annahme machen: z1=z2
=>
f(z1) != f(z2) und dies dann zum
Widerspruch führen.

Nein, denn das hat nichts mit Injektivität zu tuen. Wenn das nicht erfüllt wäre, dann wäre das ganze nicht mal ne Abbildung.

Kann ich auch bei Injektivität ganz
anders
vorgehen und mit Hilfe eines direkten
Beweises und der Komposition der Def von
Injektivität, also f(x1) = f(x2) => x1
= x2
zeigen, daß aus
f(x1) = x1+3
f(x2) = x2+3
=> x1+3=x2+3 ==> x1=x2

//qed

Wenn es darum geht Bijektivität zu zeigen, kannst du es dir auch noch viel leichter machen, indem du einfach die Umkehrabbildung f^-1 angibst und dann schnell noch ausrechnest, daß (f(f^-1))= 1 =((f^-1(f(z)).
In deinem Fall wäre f^-1(z)=z-3.