Hi,
ich wollte folgende Aussagen beweisen, die alle ganz logisch sind. Leider finde ich aber keinen Ansatz, der wirklich nach einem Beweis aussieht.
Der Körper der reellen Zahlen beinhaltet, zwei Rechenarten, die Multiplikation und die Addition. ZU diesen beiden Verknüpfungen
gibt es jeweils genau ein neutrales Element in R (1 und 0) und vor allem gibt es zu jedem Element r aus R zu jeder Verknüpfung ein inverses Element (1/r und -r), so daß bei Verknüpfung das jeweilige neutrale Element herauskommt.
Die Termumformungen der Art
a = d a+c = b+c sind allegemeingütig für alle a,b,c aus R, ebenso gelten Assozitiv-, Distributiv- und Kommutativgesetz.
Damit kannst du schon mal 1, 3 und 5 machen. Für 2 empfiehlt sich ein wiederspruchsbeweis, zu 4 mußt du dir überlegen, wann ein Element zu den natürlichen Zahlen gehört. 6 und 7 ergeben sich aus den Bedingungen für den Betrag.
Tyll
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Hi,
danke erst mal für deine Hilfe. Bei 2. a*b=0 a=0 v b=0 weiß ich trotzdem noch niccht, wie ichs beweisen soll. Die Null kommt ja in den Axiomen der Multiplikation gar nicht vor, woher weiß ich dann also, dass wenn a*b=a*b, wenn a,b nicht 0 und a*b=0, wenn beispielsweise b=0 ist.
Kannst du mir denn bitte auch 5. /a-b/=/b-a/ mal mit deinen Axiomen vorrechnen, da weiß ich auch nicht, wie ichs machen soll.
Danke
Hi Kathi!
danke erst mal für deine Hilfe. Bei 2. a*b=0 a=0 v
b=0 weiß ich trotzdem noch niccht, wie ichs beweisen soll. Die
Null kommt ja in den Axiomen der Multiplikation gar nicht vor,
woher weiß ich dann also, dass wenn a*b=a*b, wenn a,b nicht 0
und a*b=0, wenn beispielsweise b=0 ist.
Man weiß ja, daß die additive Gruppe von R das neutrale element 0 hat, also ist 0+0=0.
Damit ist dann
a*0 = (0+0)*a = a*0 + a*0.
Das inverse Element zu 0*a ist -0*a, also ist
a*0 -a*0 = a*0 +a*0 -a*0
0 = a*0 + 0
Kannst du mir denn bitte auch 5. |a-b|=|b-a| mal mit deinen
Axiomen vorrechnen, da weiß ich auch nicht, wie ichs machen
soll.
Die Betragsfunktion erfüllt ja die Bedingung |a*b| = |a|*|b|
Damit gilt dann
|a-b| = |-1(b-a)| = |-1|*|b-a| = |b-a|
Gruß
Tyll
Die Lösung für 1. und 2.:
Voraussetzungen:
Die Axiome für die reellen Zahlen R:
Addition:
(A1) Existenz der Summe: zu a,b aus R existiert eine Zahl a+b aus R
(A2) a+b=b+a (Kommutativiät)
(A3) a+(b+c)=(a+b)+c (Assoziativität)
(A4) Existenz der 0: Es existiert eine Zahl 0 aus R, für die gilt: a+0=a für alle a aus R
(A5) Existenz der inversen Zahl: Zu jeder Zahl a aus R existiert eine Zahl b aus R, für die gilt: a+b=0 (diese Zahl b wird -a genannt)
Multiplikation:
(M1) Existenz des Produktes: zu a,b aus R existiert eine Zahl a*b aus R
(M2) a*b=b*a (Kommutativiät)
(M3) a*(b*c)=(a*b)*c (Assoziativität)
(M4) Existenz der 1: Es existiert eine Zahl 1 aus R, für die gilt: a*1=a für alle a aus R
(M5) Existenz der inversen Zahl: Zu jeder Zahl a (a ungleich 0) aus R existiert eine Zahl b aus R, für die gilt: a*b=1 (diese Zahl b wird 1/a genannt)
(M6) Für alle a,b aus R gilt: a*(b+c)=a*b+a*c (Distributivität)
Aufgabe 1.:
y-x=v-u y+u=v+x
a-b wird aufgefasst als a+(-b)
A)zuerst zeigen wir y-x=v-u => y+u=v+x
B)danach zeigen wir y-x=v-u a=0 v b=0
A)zuerst zeigen wir a*b=0 a=0 v b=0
hinter dem jeweiligen Schritt steht das verwendete Axiom
A) Wir zeigen (a=0 und b ungleich 0) => a*b=0.
Der Beweis für (b=0 und a ungleich 0) => a*b=0 ist aus Symmetriegründen analog und somit bereits enthalten.
Es gilt a*b=0, wenn unter der gegebenen Voraussetzung a*b + c = c für alle c aus R.
a*b + c = a*b + c*1 (M4)
= a*b + c*(b*(1/b)) (M5)
= a*b + (c*(1/b))*b (M3)
= (a + c*(1/b))*b (M6)
= c*(1/b)*b (lt. Voraussetzung a=0)
= c*1 (M5)
= c (M4)
Nun zeigen wir noch:
(a=0 und b=0)=>a*b=0
a*b + c = (a*b + 0) + c (A4)
= (a*b + a) + c (lt. Voraussetzung a=0)
= (a*b + a*1) + c (M4)
= a*(b+1) + c (M6)
= a*(0+1) + c (lt. Voraussetzung b=0)
= a*1 + c (A4)
= a + c (M4)
= 0 + c (lt. Voraussetzung a=0)
= c (A4)
B) Jetzt zeigen wir a*b=0 => a=0 v b=0
Annahme I: b=0. Dann wäre die Behauptung erfüllt.
Annahme II: b ungleich 0. Wir zeigen, dass dann aus a*b=0 folgt a=0.
Dies ist dann der Fall, wenn c+a=c für alle c aus R gilt.
c+a=c+(1*a) (M4)
=c+((1/b)*b)*a (M5, Voraussetzung b ungleich 0)
=c+((1/b)*(b*a)) (M3)
=c+((1/b)*(a*b)) (M2)
=c+((1/b)*0) (lt. Voraussetzung)
=c+0 (wenn ein Faktor ungleich 0 und ein Faktor = 0, dann ist das Produkt = 0. Das haben wir gerade unter A) gezeigt.)
= c (A4)
Torsten,
der es einfacher mit gutem Gewissen leider nicht hinbekommen hat
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Ist dies nicht äquivalent zu 0 0, also eine Art Zirkelschluss ?
Tyll oder jemand anders, bitte klärt mich einmal auf.
Torsten
Hi Kathi!
danke erst mal für deine Hilfe. Bei 2. a*b=0 a=0 v
b=0 weiß ich trotzdem noch niccht, wie ichs beweisen soll. Die
Null kommt ja in den Axiomen der Multiplikation gar nicht vor,
woher weiß ich dann also, dass wenn a*b=a*b, wenn a,b nicht 0
und a*b=0, wenn beispielsweise b=0 ist.Man weiß ja, daß die additive Gruppe von R das neutrale
element 0 hat, also ist 0+0=0.
Damit ist dann
a*0 = (0+0)*a = a*0 + a*0.
Das inverse Element zu 0*a ist -0*a, also ist
a*0 -a*0 = a*0 +a*0 -a*0
0 = a*0 + 0
Gruß
Tyll
Ist dies nicht äquivalent zu 0 0, also eine Art
Zirkelschluss ?Tyll oder jemand anders, bitte klärt mich einmal auf.
Torsten
Hi Torsten!
Nein. Erstmal ist „0“ keine Aussage, also stünde da wenn überhaupt: 0 = a*0 - a*0 0 = a*0
Beweisen wollen wir die Richtung von links nach rechts, ich habe das nur anderherum aufgeschreiben.
Vielleicht hilft es dir, die Aussage mündlich abzufassen:
a*0 ist genau dann gleich 0, wenn -a*0 das inverse Element zu a*0 ist.
Ein Zirkelschluß wäre es gewesen, wenn ich das, was ich hätte beweisen wollen, schon zur Beweisführung verwendet hätte.
Gruß
Tyll