Beweise zum Thema Abbildungen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

ich muss nochmal etwas zum Thema injektiv, surjektive und bijektive Abbildungen fragen, nachdm ich nun verstanden habe was was ist:

Wir sollen jetzt Beweise zu dem Thema führen und uns fehlt allen jeglicher Ansatz. Ich schicke mal die Aufgabe und es wäre sehr nett, wenn es jemand wenigstens für eine Teilaufgabe mal erklären könnte, damit wir ein Beispiel haben zu dem wir es dann bei den anderen Aufgaben analog machen können. Aufgabe:

Gegeben seien die beiden Abbildungen f: X–>Y und g: Y–>Z. Zeigen Sie:

a) Ist g°(Komposition)f injektiv, so ist auch f injektiv.
b)Ist g°f injektiv und f surjektiv, so sind sowohl f als auch g injektiv.

Aufgabe c) ist von der Machart etwas anders:
c) Sei nun X=Y=Z={a,b,c}. Geben Sie für f und g jeweils ein Beispiel an, in dem: (1)g°f injektiv ist, (2)f nicht surjektiv ist und (3)g nicht injektiv ist.

Vielen Dank!!!

#2

Aufgabe:

Gegeben seien die beiden Abbildungen f: X–>Y und g:
Y–>Z. Zeigen Sie:

a) Ist g°(Komposition)f injektiv, so ist auch f injektiv.

Hier könnte man indirekt herangehen und sich überlegen, welche
Auswirkung es auf die Verkettung „g nach f“ hat, wenn f nicht injektiv ist.

b)Ist g°f injektiv und f surjektiv, so sind sowohl f als auch
g injektiv.

Aufgabe c) ist von der Machart etwas anders:
c) Sei nun X=Y=Z={a,b,c}. Geben Sie für f und g jeweils ein
Beispiel an, in dem: (1)g°f injektiv ist, (2)f nicht surjektiv
ist und (3)g nicht injektiv ist.

Hier soll man konkret Abbildungen angeben, also beispielsweise
f(a)=a, f(b)=b, f©=c, etc. mit den gewünschten Eigenschaften.

Die Fälle (2) und (3) betreffen ja jeweils nur eine der Abbildungen,
sind also etwas einfacher als (1).

Gruß,
jörg

#3

Könntest du vielleicht für a) so einen Beweis mal aufschreiben. Wir dachten es würde über Kontraposition gehen, also:

A–>B: g°f injektiv --> f injektiv

wir wollen zeigen:

nicht B --> nicht A: f nicht injektiv --> g°f nicht injektiv

Haben also die Definition für f injektiv verneint und kommen dann nicht weiter. Wir haben:

f(x1)=f(x2) und x1 ungleich x2

Können jetzt aber nicht zeigen, dass daraus nicht B folgt.

Vielen Dank für deine Anmerkungen!

#4

Könntest du vielleicht für a) so einen Beweis mal
aufschreiben. Wir dachten es würde über Kontraposition gehen,
also:

A–>B: g°f injektiv --> f injektiv

wir wollen zeigen:

nicht B --> nicht A: f nicht injektiv --> g°f nicht
injektiv

Haben also die Definition für f injektiv verneint und kommen
dann nicht weiter. Wir haben:

f(x1)=f(x2) und x1 ungleich x2

Können jetzt aber nicht zeigen, dass daraus nicht B folgt.

Ihr seid ja praktisch schon fertig, das ist genau der richtige Ansatz.

Wenn f(x1)=f(x2), dann ist ja auch g(f(x1))=g(f(x2) für irgendwelche x1 ungleich x2.
Das bedeutet aber genau, dass g kringel f nicht injektiv ist.
Fertig per Kontraposition !

Gruß,
Jörg

#5

hi,

Gegeben seien die beiden Abbildungen f: X–>Y und g:
Y–>Z. Zeigen Sie:

a) Ist g°(Komposition)f injektiv, so ist auch f injektiv.

wäre f nicht injektiv, so müsste es mindestens ein paar (x1, x2) geben, wo f(x1) = f(x2)
dort wäre dann auch g(f(x1)) = g(f(x2))

also wäre gof nicht injektiv.

b)Ist g°f injektiv und f surjektiv, so sind sowohl f als auch
g injektiv.

dass f injektiv ist, folgt aus der oberen aufgabe. es geht also nur mehr um g.

wäre g nicht injektiv, so gäbe es y1 und y2 aus Y mit
y1 y2 und g(y1) = g(y2)

da aus der surjektivität von f folgt: es gibt x1 und x2 aus X
mit x1 x2 und f(x1) = y1 und f(x2) = y2

wäre dann g(f(x1)) = g(f(x2)), also gof nicht injektiv.

Aufgabe c) ist von der Machart etwas anders:
c) Sei nun X=Y=Z={a,b,c}. Geben Sie für f und g jeweils ein
Beispiel an, in dem: (1)g°f injektiv ist, (2)f nicht surjektiv
ist und (3)g nicht injektiv ist.

hä?
fehler in der / beim abschreiben der angabe, nehme ich an!

innerhalb gleich mächtiger endlicher mengen
(also im spezialfall f: X --> X, g: X --> X, X endlich)
entsprechen einander die begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv.

ist also f nicht surjektiv (d.h. nicht alle werte aus X treten als funktionswerte auf), kann es auch nicht injektiv sein. wenn g nicht injektiv ist, kann es auch nicht surjektiv sein. ist gof injektiv, dann ist es auch surjektiv, also bijektiv. also müssen auch f und g bijektiv sein.

allenfalls ist die angabe so zu verstehenn, dass man einfach getrennt voneinander ein injektives (also bijektives) gof, ein nicht surjektives (also nicht injektives) f (das mit dem f von davor nix zu tun haben kann) und ein nicht injektives (also nicht surjektives) g (das mit dem g vom ersten zeil nix zu tun haben kann) nennen soll. das ist dann leicht.

anders siehts bei unendlichen mengen aus. waren da irgendwo drei punkte? X=Y=Z={a,b,c, …}?

hth
m.

#6

Hi,

Dankeschön für a) und b) ist wirklich nachvollziehbar und doch nicht so schwer …

Aufgabe c) steht genauso auf dem Blatt wie ich sie reingestellt habe, keine Ahnung was das soll…

LG
Flo