Hallo liebe Experten,
weiß jemand vielleicht einen Beweis für folgenden Sachverhalt?
Hat eine normale Polynomfunktion (z.B. f(x)=1/6*x^6 - 9/4*x^4) drei Extrema und sind die „äußeren“ Extrema (in diesem Fall -3 und +3) Minima (Maxima), dann muss dass „innere“ Extremum (im Fall: 0) ein Maximum(Minimum) sein.
Vielen Dank.
Grüße,
Anwar
Hat eine normale Polynomfunktion (z.B. f(x)=1/6*x^6 - 9/4*x^4)
drei Extrema und sind die „äußeren“ Extrema (in diesem Fall -3
und +3) Minima (Maxima), dann muss dass „innere“ Extremum (im
Fall: 0) ein Maximum(Minimum) sein.
Das geht eigentlich ziemlich einfach:
Die Minima (Maxima) der Polynomfunktion sind Nullstellen in der ersten Ableitung der Funktion. Weiterhin muss an diesen Nullstellen ein Vorzeichenwechsel stattfinden, und zwar von - nach + (bei Maxima von + nach -).
Demzufolge gehen die Funktionswerte der ersten Ableitung nach dem ersten Minimum (Maximum) in den positiven (negativen) Bereich und müssen beim letzten Minimum (Maximum) aus dem negativen (positiven) Bereich kommen. Da die Polynomfunktion eine stetige Funktion ist, ist es auch ihre erste Ableitung. Somit lässt sich der Mittelwertsatz anwenden.
Daraus folgt, dass der Graph der ersten Ableitung zwischen diesen beiden Minima (Maxima) beim Wechsel von + nach - (- nach +) wieder die x-Achse kreuzen muss, dieses mal aber von - nach + (+ nach -), was wiederum ein Maximum (Minimum) in der Polynomfunktion bedeutet.
Okay, das war jetzt ziemlich hochtrabend und wahrscheinlich noch nicht mal ganz sauber. Ich hab den Beweis noch irgendwo ganz genau in meinen Uni-Unterlagen rumfliegen. Wenn du’s genauer brauchst, sag nochmal bescheid.
CU
Florian
Hallo Florian,
vielen Dank für Deine Antwort.
Okay, das war jetzt ziemlich hochtrabend und wahrscheinlich
noch nicht mal ganz sauber.
Och, ich fand’s okay. 
Ich hab den Beweis noch irgendwo
ganz genau in meinen Uni-Unterlagen rumfliegen. Wenn du’s
genauer brauchst, sag nochmal bescheid.
Da gab’s nur ein Problem: In Deiner Beweisführung hast Du unterstellt, dass Polynomfunktionen stetig sind. Das stimmt auch, aber kann man es beweisen? Oder geht es aus irgendeinem Axiom hervor (wäre ja auch eine Art Beweis)?
Grüße,
Anwar