Guten Tag,
ich habe mal eine Frage zu der Beziehung zwischen Umfang und Flächeninhalt.
Der Umfang eines Kreises berechnet sich durch U = 2*pi*r
Der Flächeninhalt eines Kreises mit A = pi*r²
Das ist also eine einfach Integration über dem Umfang. Wenn ich das jetzt bei anderen Körpern versuche, dann geht das leider nicht so.
z.B. ist der Umfang eines Vierecks U = 2*(a+b). Der Flächeninhalt A = a*b.
Gibt es mathematische Grundregeln von denen man aus dem Umfang eines beliebigen Körpers auf seinen Flächeninhalt schließen kann?
Danke Sebastian
Hi Sebastian,
Das ist also eine einfach Integration über dem Umfang.
das ist keine Integration, sondern Zufall, der darauf beruht, dass beim Kreis der Radius alles bestimmt.
Wenn ich das jetzt bei anderen Körpern versuche, dann
geht das leider nicht so.
z.B. ist der Umfang eines Vierecks U = 2*(a+b). Der
Flächeninhalt A = a*b.
beim Rechteck (Viereck hat beliebige Winkel) ist von a*b bis 0 (im Grenzfall) alles an Fläche möglich.
Gibt es mathematische Grundregeln von denen man aus dem Umfang
eines beliebigen Körpers auf seinen Flächeninhalt schließen
kann?
So eine Beziehung wäre nur für regelmäßige Vielecke denkbar, da ist sie allerdings dermaßen simpel, dass Du selbst draufkommen solltest.
Gruß Ralf
Hallo Ralf,
mir geht es hier nicht um regelmäßige Vielecke sondern um jede geometrische 2D Form. Der Grund ist der, dass man sich den Umfang der meisten Figuren einfach herleiten kann. Siehe Umfang eines Dreiecks, Trapezes, Drachenviereck usw.
Nur um den Flächeninhalt der entsprechenden Figur zu bestimmen brauche ich immer ein Tafelwerk. Daher meine Frage ob man über mathematische Beziehungen vom Umfang auf den Flächeninhalt schließen kann.
mfg Sebastian
Hallo Sebastian!
Das kan natürlich nicht funktionieren. Ein Faden mit der Länge a kann der Umfang eines Kreises mit der Fläche a^2/(4*Pi). Aber der Faden kann auch dauch den Umfang eines Dreiecks bilden mit einem kleineren Flächeninhalt oder Du kannst auch Figuren völlig ohne Flächeninhalt legen.
Allerdings brauchst Du nicht für jede einfache Figur ein Tafelwerk. In der Mehrzahl der Fälle kannst Du Figuren in rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Deren Größe ist leicht zu errechnen.
VG, Stefan
Umfang U
Fläche A
Im Verhältnis v=U/sqrt(A) äussert sich die Zergliederung des Randes
deiner Fläche. Minimal ist das für den Kreis. Nach oben hin ist
das unbegrenzt. Fraktale haben bei vorgegebenem Flächeninhalt einen unendlich grossen Umfang. Wenn Du das v allerdings für eine Fläche kennst, kannst du die Fläche skalieren
(proportional vergrössern oder verkleinern)
und die neue Fläche aus dem neuem Umfang berechnen.
A=(U/v)^2
(OK - primitiv aber mehr geht leider nich)
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Hallo Sebastian,
leg mal aus vier Streichhölzern ein Quadrat. Jetzt legst du aus diesen Streichhölzern eine Raute. Der Umfang ist gleich geblieben, die Fläche ist kleiner. Nun machst du die Raute noch flacher …
Gruß
Pat
kleine Korrektur
Hallo,
bilden mit einem kleineren Flächeninhalt oder Du kannst auch
Figuren völlig ohne Flächeninhalt legen.
Das glaube ich nicht, Du kannst zwar Flächen gestalten, die schwierig zu berechnen sind, aber ohne Flächeninhalt? Dann muss der Faden um einen unendlichlich kleinen Punkt ganz sauber aufgewickelt werden und selber keinen Raum einnehmen.
Gruß Volker
Noch kleinere Korrektur
Hallo,
bilden mit einem kleineren Flächeninhalt oder Du kannst auch
Figuren völlig ohne Flächeninhalt legen.
Das glaube ich nicht, Du kannst zwar Flächen gestalten, die
schwierig zu berechnen sind, aber ohne Flächeninhalt? Dann
muss der Faden um einen unendlichlich kleinen Punkt ganz
sauber aufgewickelt werden und selber keinen Raum einnehmen.
Nein, so geht es nicht. Erstens ist jeder Punkt unendlich klein (das ist also so ähnlich wie mit dem weißen Schimmel). Zweitens kann man um ein unendlich kleinen Punkt nichts wickeln. (D.h. wenn man es versucht, wird die Länge des Fadens nie aufgebraucht).
Die Lösung sieht viel einfacher aus: Man zieht den Faden an zwei Punkten auseinander, bis die Fadenstücke zwischen den Punkten straff gespannt sind. Etwas geschwollen ausgedrückt: Man bildet ein Polygon mit zwei Ecken. Ein solches Ding hat eine Fläche von 0.
(Aber in einem Punkt gebe ich Dir Recht: Der Faden muss unendlich dünn sein).
Michael
Hallo
Ich meine mich zu erinnern (lang, lang ist’s her), dass man die Fläche bestimmen kann, indem man den Rand „abfährt“.
Stichwort Linien- bzw. Wegintegral.
Gruss
Ratz
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Zufall mit System
Hallo Ralf!
Das ist also eine einfach Integration über dem Umfang.
das ist keine Integration, sondern Zufall, der darauf beruht,
dass beim Kreis der Radius alles bestimmt.
Wenn das nur Zufall ist, dann aber Zufall mit System. 
Zunaechst beobachten wir, dass die Relation auch fuer Volumen und Oberflaeche der Kugel gilt.
Das erklaere ich mir folgendermassen: Man berechnet das Volumen der Kugel als Volumenintegral mit Integrationsmass
dV = r2 sinθ dr dθ dφ
und erhaelt
V = ∫ dV = ∫ r2 sinθ dr dθ dφ = (4/3)π R3.
Auf der anderen Seite berechnet man die Oberflaeche als Integral ueber die beiden Winkel bei festem Radius r=R,
O = ∫ dF = ∫ R2 sinθ dθ dφ = 4π R2.
So sieht man rechnerisch, warum die eine Formel durch Integration bzw. Differentiation aus der anderen hervorgeht.
Die Rechnung funktioniert offenbar nur bei Spaehren, dann aber wahrscheinlich in beliebiger Dimension.
Gruss,
klaus
MOD: vergessene „;“ bei HTML-Codes ergänzt.