Bezüglich Potenzreihen - Analysis I

Wissenschaft Mathematik
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Hallo!

Ich lerne gerade für meine Klausur in Analysis I. Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

"Zeigen Sie, dass

∑_(n=1)^∞▒〖nx^(n-1) 〗=1/((1-x)^2 )

für alle x ∊ (-1,1) gilt, indem Sie die Potenzreihe als ein Cauchy-Produkt schreiben."

Als Ergebnis soll rauskommen, dass die obige Potenzreihe das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit sich selbst ist.
Durch Index-Shift erhalte ich:

∑_(n=1)^∞▒〖nx^(n-1) 〗=∑_(n=0)^∞▒〖(n+1)x^n 〗

Wie um alles in der Welt gelange ich nun aber von dort zum Cauchy-Produkt und dann zur geometrischen Reihe? Die geometrische Reihe lautet:

∑_(n=0)^∞▒x^n

Das Cauchy-Produkt ist definiert als

∑_(n=0)^∞▒c_n

mit

c_n=∑_(k=0)^n▒〖a_k b_(n-k) 〗

Im Fall der geometrischen Reiher ergibt sich mit cn

a_n=b_n=x^n

∑_(n=0)^∞▒∑_(k=0)^n▒〖x^k x^(n-k) 〗=∑_(n=0)^∞▒x^n

Daher komme ich beim Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit sich selbst wieder auf die geometrische Reihe. Wo ist mein Fehler? Wo bleibt bei meiner Rechnung (n+1)?

Sonst bin ich nicht so dämlich, aber momentan stehe ich total auf dem Schlauch. Ich würde mich daher riesig freuen, wenn mir geholfen werden könnte.

LG
Knuddel

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Hi,
vorweg: Ich drücke mich jetzt vllt. nicht ganz mathematisch präzise aus. Aber zur Verständnis sollt es reichen…

Zu deinem Cauchy-Produkt:

\left( \sum_{n=0}^\infty x^n \right)^2 = \sum_{n=0}^\infty c_n

Hierbei ist

c_n := \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

a_k = x^k

b_{n-k} = x^{n-k}

\rightarrow a_k b_{n-k} = x^n

Und wieviele Summanden gibt es in c_n ? Genau n+1…

Dann hast du die

c_n -Reihe. Dort dann eine Indexverschiebung anwenden und schon hast du es geschafft.

Ich hoffe, ich konnt dich auf den richtigen Weg bringen.

mfg Mirco

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Hallo,

Deine Formeln sind nur schwer lesbar. Bitte formatiere Sie mal mit Latex (http://www.wer-weiss-was.de/app/faqs/classic?entries…). Dann mag ich gerne mal drüber schauen.

Grüße

∑_(n=1)^∞▒〖nx^(n-1) 〗=1/((1-x)^2 )

∑_(n=1)^∞▒〖nx^(n-1) 〗=∑_(n=0)^∞▒〖(n+1)x^n 〗

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Vielen Dank!
Vielen Dank auch an all die anderen die geantwortet haben. Ich glaube, jetzt habe ich das verstanden. =)

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Hallo Knuddel,
leider habe ich zur Zeit selber Stress und habe auf die Schnelle keine Idee, wie ich Dir helfen kann. Sorry!
Gruß
Kittel

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∑_(n=0)^∞▒∑_(k=0)^n▒〖x^k x^(n-k) 〗=∑_(n=0)^∞▒x^n

∑_(k=0)^n▒〖x^k x^(n-k) 〗= (n+1) x^n

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Hallo Knuddel!
Ich kann hier nicht so gut ein Summenzeichen produzieren, deshalb schreibe ich statt dessen SUM(0,n)… usw.
Deine letzte Zeile stimmt nicht.
c_n=SUM(k=0,n)a_(n-k)b_k=SUM(k=0,n)x_(n-k)x_k
=Sum(k=0,n)x^n =x^n Sum(k=0,n)1 =(n+1)x.
Daraus ergibt sich leicht die Behauptung.

LG Hans

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Hi,

melde dich doch in meinem Forum

http://netmathematik.de/forum/

an und dann werde ich (und andere) dir gerne helfen. Dort haben wir LaTeX (elegantes, einfaches Zeichensystem zum mathematischen Schreiben) und eine Menge Fachkompetenz.

Ich selbst schreibe dann natürlich auch eine Antwort.

Gruß
Herbststurm

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Sie können beide Seite Integrieren lassen .

integral (von 0 bis x)∑_(n=1)^∞▒〖nx^(n-1) 〗=∑ Integral(von 0 bis x) nx^(n-1) = x+ x^2 + x^3+… = x/(1-x)

Integral (von 0 bis x) 1/((1-x)^2 ) = 1/(1-x)(von 0 bis x) = 1/(1-x) -1 = x/(1-x)

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Hallo Knuddel,

sorry, aber ich bin momentan leider terminlich gebunden und kann dir nicht antworten. Ich erinnere mich aber noch an ein ähnliches Problem und empfehle Dir es bei einem Komolitonen aus der Fachschaft zu versuchen.
Wenn da keiner was weiss oder so, kannst Du dich auch an die Assistenten oder den Prof selbst wenden. Oder wende Dich an die Fachschaft der TU Darmstadt. Die helfen Dir auf jeden Fall.

Grüße

Schlorz

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Sorry, kann dir gerade nicht helfen, weil ich krank bin. Viel Glück
Uschi