Hallo, habe folgende Aufgabe und sitze schon geschlagene 3 Tage daran, ich hoffe dass mir jemand vielleicht weiterhlefen kann!?
Zeichnen sie folgende Funktionen von R nach R und beweisen Sie,ob die EIgenschaften injektiv,surjektiv und Bijektiv erfüllt sind oder nicht!
f1(x):=x^2-1
f2(x):=3x+7
f3(x):=x^4-6x^2+8
Ich komm hier einfach nicht weiter!!!
Hallo,
habe folgende Aufgabe und sitze schon geschlagene 3
Tage daran, ich hoffe dass mir jemand vielleicht weiterhlefen
kann!?
was hast du denn schon erreicht?
Zeichnen sie folgende Funktionen von R nach R
Hast du die Graphen gezeichnet?
Hast du schon einen Verdacht, welche Funktionen injektiv und welche surjektiv sind?
–
PHvL
Hallo,
ja gezeichnet hab ich schon.
Ich hab leider keine Idee, wie ich anfangen soll!
Hoffe du kannst mir vielleicht weiterhelfen
hi,
ja gezeichnet hab ich schon.
Ich hab leider keine Idee, wie ich anfangen soll!
Hoffe du kannst mir vielleicht weiterhelfen
bijektiv = injektiv & surjektiv.
injektiv heißt: wenn die x-werte verschieden sind, sind auch die funktionswerte verschieden. andersrum: zu einem funktionswert kann es nicht 2 verschiedene argumente (x-werte) geben (sondern höchstens eines/n).
surjektiv heißt: zu jedem wert der bildmenge (bei dir: das zweite R) gibt es (also mindestens ) ein argument (einen „x-wert“).
was heißt das für deine funktionen, die zwischen R und R definiert sind?
f1(x):=x^2-1
f2(x):=3x+7
f3(x):=x^4-6x^2+8
nimm f1. gibts zu jedem funktionswert (y-wert) höchstens einen x-wert? nein, denn zum y-wert t.b. 3 gibts die x-werte 2 und -2. (zieh eine waagrechte gerade und du siehst, dass der graph diese gerade in vielen fällen - wann? - 2 mal schneidet.)
gibts zu jedem y-wert mindestens einen x-wert? nein, denn z.b. -2 (alles unter -1) kommt nie als funktionswert vor. (zieh eine waagrechte gerade und du siehst, dass der graph diese waagrechte gerade in vielen fällen - wann? - nie schneidet.)
hth
m.
Hossa 
Die Begriffe „injektiv“ und „surjektiv“ machen nur Sinn, wenn sowohl Definitions- als auch Wertemenge angegeben sind. Da du beides nicht angegeben hast, gehe ich mal davon aus, dass in beiden Fällen die Menge der reellen Zahlen gemeint ist.
Injektiv bedeutet, dass für zwei unterschiedliche x-Werte auch zwei unterschiedliche Funktionswerte herauskommen:
x_1\not=x_2\Rightarrow f(x_1)\not=f(x_2)
Möchte man prüfen, ob eine Funktion injektiv ist, kehrt man die obige Aussage am besten um:
f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2
Das heißt auf Deutsch: „Gibt es zwei gleiche Funktionswerte, dann muss auch das Argument gleich sein.“
Auf deine erste Funktion
f_1(x)=x^2-1
angewendet bedeutet dies:
f_1(x_1)=f_2(x_2)
x_1^2-1=x_2^2-1
x_1^2=x_2^2
x_1=\pm\sqrt{x_2^2}
x_1=\pm x_2
Also müssen bei gelichen Funktionswerten nicht zwingend auch die Argumente gleich sein. Die Funktion ist nicht injektiv. Ein Gegenbeispiel ist z.B. dass der Funktionswert f1(x)=0 bei den Argumenten x=-1 und x=+1 angenommen wird.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge mindestens einmal angenommen wird:
Für alle y aus der Bildmenge existiert ein x, so dass: f(x)=y.
Auf deine erste Funktion
f_1(x)=x^2-1
angewendet ist die Antwort schnell klar. Da f1(x)>=-1 gilt, kann z.B. der Wert -2 nicht angenommen werden. Die Funktion ist nicht surjektiv.
Die anderen Funktionen müsstest du nun eigentlich hinkriegen.
Viele Grüße
Hab ich das richtig verstanden?
Moin,
nur mal so interessehalber, weil ich hier so mitgelesen und mitgedacht habe, obwohl mir das Thema neu ist: Ist es richtig, dass
f1(x):=x^2-1 weder injektiv noch surjektiv, also auch nicht bijektiv ist
f2(x):=3x+7 sowohl injektiv als auch surjektiv und demnach auch bijektiv ist
f3(x):=x^4-6x^2+8 weder injektiv noch surjektiv, also auch nicht bijektiv ist?
Und wäre beispielsweise g(x)=x^3-x zwar surjektiv, aber nicht injektiv ( da z.B. g(-1)=g(0)=g(1) ) und somit auch nicht bijektiv?
Und h(x)=e^x wäre demnach zwar injektiv, aber nicht surjektiv und somit auch nicht bijektiv.
(Alles bezogen auf die reellen Zahlen als Definitions- und Wertemenge)
Wenn was falsch war, korrigiert mich bitte und erklärt es mir vielleicht nochmal, ich will ja nicht nur mitlesen, sondern auch mitlernen 
Liebe Grüße
DaChwa
Hallo,
(Alles bezogen auf die reellen Zahlen als Definitions- und
Wertemenge)
ja, alles richtig. Bezogen auf die Wertemenge der positiven reellen Zahlen wäre zum Beispiel x \mapsto e^x auch surjektiv.
Viele Grüße
Andreas