Bijektive Abbildung

Wissenschaft Physik
1

Hallo zusammen.

In der Uni haben wir mal bewiesen, dass der tanh die Menge R bijektiv auf (-1,1) abbildet.

Das haben wir mit den Kriterien:

(i) streng monoton wachsend

(ii) Limes fuer +oo und -oo [als Ergebnis natürlich 1 sowie -1)

Aus (i) folgt ja injektiv, aus (ii) theoretisch(!): surjektiv. Aber muss man dafür nicht auch noch die Stetigkeit des tanh zeigen? Soweit ich mich erinnern kann, haben wir niemals bewiesen, dass 1/exp(irgendetwas) auch noch stetig ist… Also um es ganz korrekt zu machen, muss ich noch die Stetigkeit nachweisen? Sonst funktioniert der Zwischenwertsatz ja auch nicht, d. h. dass tatsächlich auch die Y-Werte zwischen 1 und -1 angenommen werden. Oder täusche ich mich jetzt?

Es dankt:
Disap

2

Hallo Disap!

Aus (i) folgt ja injektiv, aus (ii) theoretisch(!): surjektiv.
Aber muss man dafür nicht auch noch die Stetigkeit des tanh
zeigen?

Ja, die muß auf jeden Fall her. Sonst könnten ja z.B. y-Werte „übersprungen“ werden, wenn die nicht gegeben ist.

Grüße
Karsten

3

Die Stetigkeit muss gezeigt werden, das ist richtig.
tanh=(e^2x-1)/(e^2x+1) ist allerdings stetig, da Zähler und Nenner als Komposition stetiger Funktionen stetig sind und der Nenner auch nicht Null werden kann.

hendrik

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]