Hallo zusammen.
Hallo,
es ist bei mir schon eine Weile her, aber ich versuch mal ein paar Ideen zu liefern.
Ich soll zeigen, dass f(x) := sinh(x) / cosh(x) bijektiv auf
]-1,1[ abbildet.
Damit habe ich jetzt aber ein kleines Problemchen. Bijektiv =
Injektiv+Surjektiv.
soweit stimmt es noch.
Es muss gelten, dass jedem Y aus Y genau
ein x zugeordnet wird.
genau, aber versuche mal die Injektivität und die Surjektivität getrennt voneinander zu zeigen. Nehmen wir mal an du hast deine Funktion f:X->Y
dann musst du bei der Injektivität zeigen, dass keine zwei Elemente auf das selbe zeigen; also aus f(x1)=f(x2) musst du folgern, dass x1=x2.
Und bei der Surjektivität musst du halt zeigen, dass zu jedem y=f(x) aus Y mindestens ein x aus X existiert.
Diese beiden ergeben dann zusammen die Bijektivität. Und das wars.
Ich dachte erst, dass ich dies zeigen könnte, indem ich
Stetigkeit. Zusätzlich müsste ich dann ja noch zeigen, dass
die Y-Werte 1 und -1 niemals erreicht werden, da tun sich
schon Fragezeichen auf.
Es ist natürlich gut die Stetigkeit zu haben, genauso wie die (strenge) Monotonie
Alternativ frage ich mich - wenn eine Funktion umkehrbar ist
(und das ist die Funktion ja), heißt das dann, dass die
Funktion auf bijektiv war?
du kannst oftmals die Bijektivität erzwingen, indem du z.B. deine Räume X und Y verkleinerst (f:X->Y)
Die Funktion g(x)=x^2 von |R -> |R ist zum Beispiel nicht bijektiv (weder injektiv noch surjektiv)
Bei der Umkehrfunktion würde jeder sagen es wäre sqrt(x)=wurzel(x)
g(x) wäre aber bijektiv, wenn g:expressionless:R+ -> |R+ (|R+ = positive reelle Zahlen)
Wenn du bei diesem Bsp den Raum Y verkleinerst machst du die Funktion surjektiv und wenn du X verkleinerst wird der Raum injektiv.
Meines Wissens hätte sie lediglich
auch injektiv sein können.
wie gesagt, mit der Surjektivität/Injektivität kannst du etwas tricksen, wenn du an deinen Räumen rumspielst (also grösser oder kleiner machen).
Kann jemand einen Tipp zur Aufgabe reichen?
Es dankt:
Disap
Gruss x303