Bild aufhaengen

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hier mal ein relativ einfaches Raetsel:

Zwei Naegel stecken in der Wand. Man hat ein Bild mit einer Schlaufe oben dran, das aufgehaengt werden soll. Die Schlaufe soll so um die Naegel gehaengt werden, dass das Bild herunterfaellt, wenn man einen _beliebigen_ Nagel herauszieht.

Peinlicherweise ist mir erst mit Gruppentheorie eine Loesung eingefallen, allerdings war es dann einfach, folgende Verallgemeinerung zu loesen: Es stecken n Naegel in der Wand, das Bild soll beim Ziehen von m beliebigen Naegeln fallen.

Wenn jemandem noch ein weiterfuehrendes Problem dazu einfaellt, nur her damit.

#2

Hier mal ein relativ einfaches Raetsel:

Aber schöööööön. Das gefällt mir.

Wie male ich das auf?
Oh weh?
Hier der Weg der Schnur bei zwei Nägeln:
links am Bild
ÜBER Nagel links
UNTER Nagel rechts
rum und ÜBER Nagel rechts
ÜBER Nagel links
rum und UNTER Nagel links
ÜBER Nagel rechts
rechts an Bild

Erinnert irgendwie an die boromäischen Ringe.
Da kenn ich auch eine Lösung mit n Ringen, die auseinanderfallen, wenn man EINEN entfernt. Wenn ichs richtig sehe, taugt die auch für das Nagelproblem.
Über die Verallgemeinerung mit n Nägeln, von denen man m entfernt, muss ich noch nachdenken. Da brauch ich erstmal eine geeignete Notation. :wink:

Wenn jemandem noch ein weiterfuehrendes Problem dazu
einfaellt, nur her damit.

Ist nicht weiterführend, aber verwandt:
Kennst Du den Zaubertrick, wo man ein Gummiband geschickt um die Hand wickelt und dieses dann die Finger wechselt?
Der Zuschauer sieht die zur Faust geballte Hand von außen, und um Ringfinger und kleinen Finger ist ein Gummiband.
Der Zauberer murmelt Magisches, streckt die Finger und - schwupp - ist das Gummiband um Zeige- und Mittelfinger.

Grüße
Barbara

#3

Hi Barbara,

Wie male ich das auf?
Oh weh?
Hier der Weg der Schnur bei zwei Nägeln:
links am Bild
ÜBER Nagel links
UNTER Nagel rechts
rum und ÜBER Nagel rechts
ÜBER Nagel links
rum und UNTER Nagel links
ÜBER Nagel rechts
rechts an Bild

Das habe ich gerade mal aufgemalt. Kann es sein, dass das einer liegenden Acht unendlich ähnelt?

Ist nicht weiterführend, aber verwandt:
Kennst Du den Zaubertrick, wo man ein Gummiband geschickt um
die Hand wickelt und dieses dann die Finger wechselt?

Kenne ich, habe ich mal bei einem Straßenhändler in Hamburg gesehen: unvergesslich.

Der Zuschauer sieht die zur Faust geballte Hand von außen, und
um Ringfinger und kleinen Finger ist ein Gummiband.
Der Zauberer murmelt Magisches, streckt die Finger und -
schwupp - ist das Gummiband um Zeige- und Mittelfinger.

Grüße
Barbara

Grüße
Stefan

#4

Jau, das ist sogar die kürzeste Lösung, natürlich gibts unendlich viele. Deine Beschreibung sagt ‚Mathematikerin‘, daher würde mich interessieren, ob Du trotzdem durch reines Probieren draufgekommen bist. (Bin ich nämlich nicht, s.o.) Jedenfalls, falls Du eine Darstellungsform suchst, probiers mal mit der Fundamentalgruppe in der Ebene ohne die Nägel(Falls dir der Begriff nichts sagt, dass ist die Gruppe der geschlossenen Wege im jeweiligen Top. Raum mod Isotopien, ist im Fall von n Nägeln isomorph zur Freien Gruppe über n Erzeugern. Ist also a der Weg um den Einen, b der Weg um den anderen Nagel, jeweils im Uhrzeigersinn, dann ist Deine Lösung ab-1a-1b)
Viel Spass weiterhin… Gruss Florian

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#5

Jedenfalls, falls Du eine Darstellungsform suchst, probiers
mal mit der Fundamentalgruppe in der Ebene ohne die
Nägel(Falls dir der Begriff nichts sagt, dass ist die Gruppe
der geschlossenen Wege im jeweiligen Top. Raum mod Isotopien,
ist im Fall von n Nägeln isomorph zur Freien Gruppe über n
Erzeugern. Ist also a der Weg um den Einen, b der Weg um den
anderen Nagel, jeweils im Uhrzeigersinn, dann ist Deine Lösung
ab-1a-1b)
Viel Spass weiterhin… Gruss Florian

Ok. Ich nehm die freie Gruppe mit n Erzeugern (neutrales Element sei e).

Ich nehm ein Element g daraus, das
a) nicht e ist
b) zu dessen Erzeugung ALLE n Erzeuger notwendig sind (ok, a folgt aus b)
Damit hängt das Bild an allen Nägeln.

Nun muss noch gelten, dass g
c) zu e wird, wenn ich genau einen beliebigen (oder allgemeiner genau m beliebige) Erzeuger durch e ersetze. (Sauberer formuliert: wenn ich nach einer der durch m beliebige Erzeuger generierten Untergruppen faktorisiere).
Damit plumpst das Bild runter, wenn ich m beliebige Nägel ziehe.

Das ist die Aufgabe. ;-(
Für die Lösung brauch ich wohl noch ein Weilchen, aber ich bin auf dem Weg.
Das Problem gefällt mir ganz ausnehmend gut.
Das ist eines von denen, die einen nicht loslassen.
Hast Du mal über den Zusammenhang zu borromäischen Ringen nachgedacht? Das ist doch dasselbe in grün.

#6

Magische gemurmele

Ok. Ich nehm die freie Gruppe mit n Erzeugern (neutrales
Element sei e).

Ich nehm ein Element g daraus, das
a) nicht e ist
b) zu dessen Erzeugung ALLE n Erzeuger notwendig sind (ok, a
folgt aus b)
Damit hängt das Bild an allen Nägeln.

Nun muss noch gelten, dass g
c) zu e wird, wenn ich genau einen beliebigen (oder
allgemeiner genau m beliebige) Erzeuger durch e ersetze.
(Sauberer formuliert: wenn ich nach einer der durch m
beliebige Erzeuger generierten Untergruppen faktorisiere).
Damit plumpst das Bild runter, wenn ich m beliebige Nägel
ziehe.

Ok, das war das oben erwähnte magische Gemurmel. Aber eben für einen anderen Trick. Was muss ich denn magische Murmeln für den Trick mit dem Gummiband über Zeige- und Mittelfinger?
Taugt das auch fürs Stricken oder Häkeln?

Gruß
Stefan

#7

Ok, das war das oben erwähnte magische Gemurmel. Aber eben für
einen anderen Trick. Was muss ich denn magische Murmeln für
den Trick mit dem Gummiband über Zeige- und Mittelfinger?

b-1a-1abc-1d-1=c-1d-1

Taugt das auch fürs Stricken oder Häkeln?

Och, wenn das obenstehende Rätsel vollständig gelöst ist, dann dürfte eine mathematische Theorie der Laufmaschen nun wirklich kein Problem mehr sein.
Und selbstverständlich erspare ich es mir nur aus Platzgründen, in obenstehender Notation eine komplette Feinstrumpfhose zu beschreiben.
:wink:

Grüße
Barbara

#8

Hast Du mal über den Zusammenhang zu borromäischen Ringen
nachgedacht? Das ist doch dasselbe in grün.

Jau, bevor jemand auf die Sache mit der Fundamentalgruppe kam, dachte ich auch dran. Da man ja über die Nägel eh nicht drüber darf, kann man sie auch als Ringe sehen. Aber mit Verschlingungen kommt man halt nicht so richtig weiter, weils da keine richtige Struktur gibt, und ausserdem sind die ja komplizierter (Wege dürfen ja ‚durch sich selbst durch‘ und sind dann immer noch äquivalent)
Jedenfalls glaube ich, dass das das erste Mal hier ist, dass Gruppentheorie dran ist… :smile:

Gruss Florian