Binärstatistik

Wissenschaft Mathematik
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Hallo zusammen,

ich würde gerne wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei einer zufällig zusammengewürfelten Binärzahl (mit gerader Stellenanzahl) genau dieselbe Menge an Einsen und Nullen in ihr vorkommt. Gibt es dafür eine Formel, abhängig von der Stellenanzahl?

Mein Ausgangspunkt war folgende Vorstellung: Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem normalen Würfel eine gerade Zahl würfelt, beträgt 50 %. Wie wahrscheinlich ist es jedoch, dass bei sechs Mal würfeln wirklich genau die Hälfte der Würfe eine gerade Zahl ergibt? Und wird es unwahrscheinlicher, je mehr Seiten der „Würfel“ hat und man genau so oft wie der neue Würfel Seiten hat, würfelt? Dass es unwahrscheinlicher wird, glaube ich jetzt zu wissen. Nur wie genau?

Ich habe ein kleines JScript-Programm gebastelt, das aber für Stellenanzahlen ab 20 meinen PC zu stark in die Knie zwingt:

function count(sw, str){
return (str.split(sw)).length-1;
}

**digitsNum = 20;**
g = 1;
digit = "0";
val = "";
var arr = [];
for(var a = 0; a 

Wenn jemand viel Arbeitsspeicher hat, könnte er/sie das Programm mit der Dateiendung ".js" abspeichern und per Doppelklick laufen lassen? Meine wichtigsten Fragen wären dann: Ab welcher Stellenanzahl geht die Wahrscheinlichkeit unter 10 %, bzw. 5%, bzw. 1%?

Noch besser wäre natürlich eine Formel zum Ausrechnen auf Papier...



Schöne Grüße,


Mohamed.
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Hallo,

auf die Schnelle vermute ich eine einfache Lösung:

die selbe Zahl von „1“ und „0“ hast du in einer n-Stelligen Binärzahl genau NUR dann, wenn sie n/2 Nullen und n/2 Einsen hat.

Man muss also nur die W’keit finden, bei n Bernoulli-Versuchen (= Versuche mit binärem Ergebnis) genau n/2 „Erfolge“ zu haben.

http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Binomial-Vertei…

Beispiel:

Sei p der langfristige mittlere Anteil an Einsen in solchen von dir betrachteten Binärzahlen. p ist unsere „Erfolgswahrscheinlichkeit“.

n ist die Anzahl der Versuche

k = n/2 ist die Anzhal der „Erfolge“

Auszurechnen ist B(k,n,p)

Das geht in Excel zB. mit der Funktion BINOMVERT. (nicht kummuliert! - man will ja nur GENAU k Erfolge)

Bei einer Zehnstelligen Zahl (n=10, k=5) und gleicher Auftrittsw’keit von Nullen und Einsen ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 24,61%.

VG
Jochen

ich würde gerne wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist,
dass bei einer zufällig zusammengewürfelten Binärzahl (mit
gerader Stellenanzahl) genau dieselbe Menge an Einsen und
Nullen in ihr vorkommt. Gibt es dafür eine Formel, abhängig
von der Stellenanzahl?

Mein Ausgangspunkt war folgende Vorstellung: Die
Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem normalen Würfel eine
gerade Zahl würfelt, beträgt 50 %. Wie wahrscheinlich ist es
jedoch, dass bei sechs Mal würfeln wirklich genau die Hälfte
der Würfe eine gerade Zahl ergibt? Und wird es
unwahrscheinlicher, je mehr Seiten der „Würfel“ hat und man
genau so oft wie der neue Würfel Seiten hat, würfelt? Dass es
unwahrscheinlicher wird, glaube ich jetzt zu wissen. Nur wie
genau?

Ich habe ein kleines JScript-Programm gebastelt, das aber für
Stellenanzahlen ab 20 meinen PC zu stark in die Knie zwingt:

function count(sw, str){
return (str.split(sw)).length-1;
}

digitsNum = 20;
g = 1;
digit = „0“;
val = „“;
var arr = [];
for(var a = 0; a

Wenn jemand viel Arbeitsspeicher hat, könnte er/sie das
Programm mit der Dateiendung „.js“ abspeichern und per
Doppelklick laufen lassen? Meine wichtigsten Fragen wären
dann: Ab welcher Stellenanzahl geht die Wahrscheinlichkeit
unter 10 %, bzw. 5%, bzw. 1%?

Noch besser wäre natürlich eine Formel zum Ausrechnen auf
Papier…

Schöne Grüße,

Mohamed.

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ich würde gerne wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist,
dass bei einer zufällig zusammengewürfelten Binärzahl (mit
gerader Stellenanzahl) genau dieselbe Menge an Einsen und
Nullen in ihr vorkommt. Gibt es dafür eine Formel, abhängig
von der Stellenanzahl?

Die Stellenzahl sei n .
Die erste Ziffer ist dann zwangsläufig 1 (sonst wäre die Stellenzahl ja n-1)

für die folgenden Stellen gibt es dann (n-1)^2 Möglichkeiten
für alle Binärzahlen mit n Stellen).

für gleich viele Nullen und Einsen müssen nach der Anfangseins n/2 Nullen und n/2-1 Einsen verteilt werden. Das entspricht

((n-1)!) / ((n/2)! * (n/2-1)!) Möglichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeit ist demnach:

((n-1)!) / ((n/2)! * (n/2-1)!) / (n-1)^2

4

Die erste Ziffer ist dann zwangsläufig 1 (sonst wäre die
Stellenzahl ja n-1)

Guter Punkt!

Danke für den Hinweis :smile:

VG
Jochen