Binomialkoeffizienten addieren

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

wir machen gerade Induktionsbeweis und da kam eine Aufgabe dran die hieß so:

(a+b)^n = Summe von k=0 bis n mit (n über k) * a^k * b^n-k

bevor es an die vollständige Induktion geht sollen wir beweisen, dass (n über k) + (n über k-1) = (n+1 über k) ist.

Bei letzteren hab ich mein Problem, aber ich habe einen Ansatz.

(n über k) + (n über k-1) = (n!/k! * (n-k)!) + (n!/(k-1)! (n-k+1)!)

hier ist mein erstes Problem, ich habe zwar die lösung, aber ich würde es auch gerne verstehen. warum heißt es hier im Nenner (n-k+1)! und nicht (n- k-1)! der nächste Schritt ist nun nach langem überlegen auch klar

(n!/k! * (n-k)!) + (n!/(k-1)! (n-k+1)!) = n!*(n-k+1) + n!*k/(n-k+1)!*k!

aber dann habe ich das nächste Problem, iwe komme ich von dort nach:

n!*(n+1)/(n+1-k)!k!

Ich entschuldigen mich für meine schlechte Formatierung, ich hoffe man kann es nachvollziehen.

liebe Grüße Matthias

#2

hier ist mein erstes Problem, ich habe zwar die lösung, aber
ich würde es auch gerne verstehen. warum heißt es hier im
Nenner (n-k+1)! und nicht (n- k-1)!

n - (k-1) = n - k + 1

Der Beweis:
\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}= \frac{kn!}{k!(n+1-k)!}+\frac{(n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!}
=\frac{(n+1)n!}{k!(n+1-k)!} = \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} = \binom{n+1}{k}

mfg,
Ché Netzer

#3

Hallo Ché Netzer,

danke für deine schnelle Antwort, du hast wirklich sehr geholfen. Ich werde die nächsten Tage noch den eigentlichen Beweis, versuchen und wenn ich nicht weiter komme, melde ich mich wieder.

liebe Grüße Matthias

#4

Hossa Brayn :smile:

Bei letzteren hab ich mein Problem, aber ich habe einen
Ansatz.

(n über k) + (n über k-1) = (n!/k! * (n-k)!) + (n!/(k-1)!
(n-k+1)!)

hier ist mein erstes Problem, ich habe zwar die lösung, aber
ich würde es auch gerne verstehen.

Und hast du es nun tatsächlich verstanden , oder hast du vielleicht nur gerechnet? Es ist ein allgemeines Problem in unseren Schulen, dass fast nur noch gerechnet wird aber nicht mehr wirklich verstanden wird. Diese tollen Lehrer, die Mathematik bildhaft erklären, gibt es immer weniger. Aber zurück zu der Formel…

Wenn du die Bedeutung von „n über k“ verstanden hast, ist diese Formel sofort klar…

„n über k“ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, die du hast, um aus n Objekten genau k auszuwählen.

Wenn du nun 1 Objekt zu den n alten Objekten hinzufügst und möchten davon k auswählen („n+1 über k“), hast du zwei Möglichkeiten:

  1. Das neue Objekt wird nicht gewählt. Dann müssen noch k Objekte aus den alten n Objekten gewählt werden. => „n über k“ Möglichkeiten.

  2. Das neue Objekt wird ausgewählt. Dann müssen noch (k-1) Objekte aus den alten n Objekten gewählt werden. => „n über k-1“ Möglichkeiten.

Zusammengefasst:

\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}

Viele Grüße

Hasenfuß

#5

Die Erklärung dazu ist mit dem Pascalschen Dreieck sehr viel einfacher.
(n über k) ist bekanntlich die k-te Zahl in der n-ten Zeile.
Und wenn man das Dreieck aufschreiben möchte, geht man so vor, dass man zwei benachbarte Elemente einer Zeile addiert - (n über k) + (n über k-1) - und das in die Zeile darunter schreibt - (n+1 über k).

mfg,
Ché Netzer