Binomialkoeffizieten

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo zusammen,
ich hab eine kleine Frage zur Herleitung der Binomialkoeffizienten.
Also bei einer geordneten k-elementigen Teilauswahl aus einer
n-elementigen Menge, gibt dies die Anzahl der Möglichkeiten an:
n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − k + 1)
Das hab ich verstanden, aber nicht die Umformung zu:
n!

(n − k)!

Mit welchen Rechenschritten kann man diese Umformung machen?
Und wieso kommt das (n-k) unter den Bruchstrich?

2

Hallo,

das ist einfach:

n! steht ja für n*(n-1)*(n-2)*…*3*2*1

Am Beispiel:

7! = 7*6*5*4*3*2*1

Wenn ich jetzt nur 7*6*5*4 rechnen will und den Wert für 7! kenne, dann brauche ich den nur durch 3*2*1 zu teilen:

7\*6\*5\*4\*3\*2\*1 7!
------------- = 7\*6\*5\*4 = --
 3\*2\*1 3!

Das Produkt „3*2*1“ kürzt sich raus.

In diesem Beispiel war n=7 und k=4. Somit kann man auch kurz schreiben:

 7! n!
7\*6\*5\*4 = ------ = ------
 (7-4)! (n-k)!

Das gleiche für k=5 ist:

 7! n!
7\*6\*5\*4\*3 = ------ = ------
 (7-5)! (n-k)!

Jetzt nochmal ganz allgemein:

ich will das Produkt n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+3)*(n-k+2)*(n-k+1):

n! = n\*(n-1)\*...\*(n-k+3)\*(n-k+2)\*(n-k+1)\*(n-k)\*(n-k-1)\*...\*2\*1

 n! n\*(n-1)\*...\*(n-k+3)\*(n-k+2)\*(n-k+1)\*(n-k)\*(n-k-1)\*...\*2\*1
------ = ----------------------------------------------------------
(n-k)! (n-k)\*(n-k-1)\*...\*2\*1

Letzte Klarheiten beseitigt?

LG
Jochen

3

Das hab ich soweit eigentlich schon verstanden, aber ich wollte wissen, wieso
n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1)= n!
----- ist?
(n-k)!

Wie muss ich den ersten Teil umformen ,um auf den zweiten zu kommen?

4

Hallo,

da ist nichts weiter umzuformen!

Man schreibt das Produkt schlicht in Form einer Fakultät, die man durch eine andere Fakultät teilt.

Statt „5*4“ schreibt man halt „5*4*3*2*1 geteilt durch 3*2*1“. Als Fakultäten geschrieben: 5! geteilt durch 3!

Das ist alles.

Das ist so, wie du die Zahl 5 auch als 3+2 schreiben kannst. Oder als 4+1. Oder als 7-2.

Der eigentliche „Trick“ beim Binomialkoeffizient ist nur der, dass man den „unteren Teil“ eines Produktes (genauer: einer Fakultät) „eliminieren“ kann, indem man das Produkt durch ein anderes Produkt teilt, welches seinerseits die zu eliminierenden Faktoren enthält.

LG
Jochen

5

hi,
probiers an einem beispiel:

n = 7, k = 3, n-k = 4

 7.6.5.4.3.2.1 7!
7.6.5 =------------- = -----; 
 4.3.2.1 4!

allgemein:
 n!
n.(n-1). ... .(n-k+1) = -------
 (n-k)!

roger?

m.

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