Man soll durch die binomische Formel zeigen, dass
lim_x_gegen_unendlich(1+x/n)_hoch_n=exp(x)
ist.
Danke im vorab.
Nachfrage
Hallo,
welche Darstellung von e verwendet ihr ?
Gruss
Enno
Hallo,
welche Darstellung von e verwendet ihr ?Gruss
Enno
Die Reihenschreibweise, also mit Summenzeichen
Summenzeichen(x_hoch_k/k!)
wennschon dennschon
Hallo, needhelp, es geht, aber nicht „unkompliziert“:
„lim_x_gegen_unendlich(1+x/n)_hoch_n=exp(x)“
zu beweisen mittels binomischer Auflösung!
Du meinst wahrscheinlich „n_gegen_unendlich“,
in meiner Schreibweise: lim{(1+x/n)^n},n–>oo, = e^x.
STIMMTS?
Und mit „exp(x)“ wirst du e^x meinen.
Nun ergibt ja (1+x/n)^n binomisch ausgeklammert, wie du vielleicht weißt, eben mit den „Binominalkoeffizienten“:
1 + n*x/n + (nüber2)*(x/n)^2 + (nü3)*(x/n)^3 ++++, also:
lim{(1+x/n)^n},n–>oo =
lim[Summe{(nüberk)*(x/n)^k},0oo
Geht man nun nicht von der „eigentlichen“ Definition von e^x als lim{(1+x/n)^n},n–>oo aus, sondern von der POTENZREIHENdefinition
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +++ x^n/n! +++
= Summe{x^k/k!},0oo =
Summe{x^k/k!},alle k, also daß gilt:
lim{(nüberk)*(x/n)^k},n–>oo =
(x^k/k!), alle k, also daß gilt:
lim{{n!/(k!*[n-k]!)}*x^k/n^k},n–>oo =
(x^k/k!),alle k, also daß gilt:
(x^k/k!)*lim{n!/([n-k]!*n^k)},n–>oo =
(x^k/k!),alle k, also daß gilt:
lim{n!/([n-k]!*n^k)},n–>oo, = 1
Nun ist ja:
lim{n!/([n-k]!*n^k)},n–>oo, =
lim{{[n-k]!*[n-k+1]*[n-k+2]**[n-k+k]/([n-k]!*n^k)},n->oo
gleich
lim{[n-k+1]*[n-k+2]**[n-k+k]/n^k},n->oo, =
lim{([n-k+1]/n)*([n-k+2]/n)**([n+k+k]/n)},n->oo, =
lim{(1-[k-1]/n)*(1-[k-2]/n)**(1-[k-k]/n)},n->oo, = 1 !!!
Womit die Identität über binomische Auflösung und Grenzwertbetrachtung bewiesen ist!
P.S.: ABER warum eigentlich so umständlich?
„lim_n_gegen_unendlich(1+x/n)_hoch_n=exp(x)“ =
lim{(1+x/n)^n},n–>oo ist ja gleich
lim{(1+1/[n/x])^n},n–>oo =
lim{(1+1/[n/x])^[x*n/x]},n–>oo =
{lim{(1+1/[n/x])^[n/x]}}^x,n–>oo = e^x
nach Definition der Zahl e = lim{(1+1/n)^n},n–>oo, für n nicht nur ele |N sondern auch n ele |R !!!
Also braucht man für den geforderten Beweis gar nicht die binomischen Formeln, sondern nur die e-Definition!!!
Interessanter ist übrigens die hier im Forum bereits früher dargestellte Herleitung der Formel
e^[ix] = cosx + i*sinx
ebenfalls über Grenzwertbetrachtung auf der Grundlage der Additionstheoreme, dem Satz von Moivre und der Regel von de l´Hôpital!
Ich hoffe, die ganze „Formulatur“ war doch einigermaßen entzifferbar,
liebe Grüße, Addi (Adelheid)