ich habe eine Aufgabe und komme nicht weiter
ich muss zeigen daß
(1+wurzel(3))^n + (1 - wurzel(3))^n eine natürliche zahl ist
ich habe die binomische lehrsatz benutzt und habe das bekommen
summe k = 0 bis n (n k) ( - wurzel(3))^n + summe k = 0 bis n (n k) ( wurzel(3))kann mir jemand bitte zeigen wie es weiter geht ???
wegen ( - wurzel(3))^n und ( wurzel(3))^n bin ich durcheinander
merci beaucoup
vielen Dank
Liebe Serene 26,
zunächst muss es heißen:
summe k = 0 bis n (n k) ( - wurzel(3))^k + summe k = 0 bis n (n k) ( wurzel(3))^k
(also hoch k, statt hoch n), dann:
-
Wenn das k ungerade ist (1, 3, 5, 7, …) heben sich die beiden Summanden gegenseitig auf
-
Wenn das k gerade ist, kann man schreiben: k=2m
und (wurzel(3))^2m = ((wurzel(3))^2)^m = 3^m
bzw.
(-wurzel(3))^2m = 3^m, zusammen also
2 3^m - und das ist eine natürliche Zahl.
Viele Grüße
Jo Hannes
Im binomischen Lehrsatz steht jeweils wurzel(3)^k nicht
wurzel(3)^n!!
Weiter: Die beiden Summen kann man in eine einzige zusammenfassen, also die beiden für k=0, die beiden für k=1, die beiden für k=2 und so weiter bis k=n.
Bei geradem k wird wurzel(3)^k eine natürliche Zahl und ebenso (-wurzel(3))^k.
Bei ungeradem k ist (-wurzel(3))^k = - (wurzel(3))^k.
Alle diese ungeraden Summanden fallen also weg.
Da die Binomkoeffizienten natürliche Zahlen sind, sind es also auch alle übrig bleibenden Summanden. Dann ist auch die Summe eine natürliche Zahl.
Mit lieben Grüssen
Peter Matl
Hi serene26,
der Grund, weswegen diese Formel immer natürliche Zahlen liefert, ist darin begründet, dass die Summanden im aufgelösten Term von (1-wrz(3))^n, die nicht natürlich sind, weil sie eine ungerade potenz von wrz(3) beinhalten, gerade die Summanden sind, die sich bei den aufgelösten Termen von (1+wrz(3))^n und (1-wrz(3))^n im vorzeichen unterscheiden. da zwischen den beiden Termen ein plus steht, fallen sie einfach weg und es bleiben nur noch gerade potenzen von wurzel 3, also natürliche zahlen.
Hallo
Tut mir leid das die Antwort etwas spät kommt aber ich war mal im Urlaub. 
Ich vermute ganz stark das du deine Antwort schon im Forum bekommen hast und viel ausführlicher als Hasenfuß wird man sie auch nicht geben können. Aber es wird nun mal darum gebeten jede Anfrage zu beantworten und so versuch ich dir die Lösung auch nocheinmal zu schreiben. 
summe k = 0 bis n (n k) ( - wurzel(3))^n + summe k = 0 bis n (n k) ( wurzel(3))
Stimmt soweit. Und jetzt versuch einmal die Summen zusammenzuziehen:
summe k = 0 bis n [(n k) ( - wurzel(3))^n + (n k) ( wurzel(3))]
= summe k = 0 bis n [(n k) (( - wurzel(3))^n + ( wurzel(3))]
Schau dir nur mal den Term (-wurzel(3))^n + ( wurzel(3))^n an.
angenommen n ist eine gerade Zahl, also n = 2k, dann bekommst du:
(-wurzel(3))^(2k) + ( wurzel(3))^(2k)
= ((-wurzel(3))^2)^k + ((wurzel(3))^2)^k
= 3^k + 3^k = 2 * 3^k
Ist also eine natürliche Zahl.
Und das ganze für ungerade n nocheinmal, also n = 2k + 1:
(-wurzel(3))^(2k + 1) + ( wurzel(3))^(2k + 1)
= ((-wurzel(3))^2)^k * (-wurzel(3)) + ((wurzel(3))^2)^k * wurzel(3)
= -3^k * wurzel(3) + 3^k * wurzel(3) = 0
Wir erhalten 0 und das ist ja auch eine natürliche Zahl.
Da dieser Ausdruck nun für gerade und ungerade n natürliche Zahlen ergibt, ergibt er das für jedes n.
Am Ende erhältst du eine Summe von natürliche Zahlen, die logischerweise wirder eine natürliche Zahl ergibt.
Spät aber besser als nie!
MfG IGnow
Hey,
sorry, habe mein E Mail lange nicht geprüft (paar Monate 
) und habe erst jetzt deine Frage gesehen. Hat es sich inzwischen schon erledigt?
MfG