ich habe eine Aufgabe und komme nicht weiter
ich muss zeigen daß
(1+wurzel(3))^n + (1 - wurzel(3))^n eine natürliche zahl ist
ich habe die binomische lehrsatz benutzt und habe das bekommen
summe k = 0 bis n (n k) ( - wurzel(3))^n + summe k = 0 bis n (n k) ( wurzel(3))kann mir jemand bitte zeigen wie es weiter geht ???
wegen ( - wurzel(3))^n und ( wurzel(3))^n bin ich durcheinander
merci beaucoup
vielen Dank
Schule? Vorlesung?
Man muss hier nur unterscheiden in Terme mit gerader Potenz von Wurzel(3) und ungerader. Dann sieht man es eigentlich sofort. 
Gruß
Granini
ich habe die binomische lehrsatz benutzt und habe das
bekommen
summe k = 0 bis n (n k) ( - wurzel(3))^n + summe k = 0 bis n
(n k) ( wurzel(3))
Richtig wäre aber eigentlich
\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}(\sqrt{3})^k+\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}(-\sqrt{3})^k
Jetzt die beiden Summen zusammenfassen und dann zwischen geraden und ungeraden Exponenten unterscheiden.
Gruß
hendrik
Hossa
\left(1+\sqrt{3}\right)^n+\left(1-\sqrt{3}\right)
=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\sqrt{3}\right)^k+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(-\sqrt{3}\right)^k
=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt{3}\right)^k+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k\left(\sqrt{3}\right)^k
=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\left[\left(\sqrt{3}\right)^k+(-1)^k\left(\sqrt{3}\right)^k\right]
Bis dahin dürfte alles klar sein. Wenn du dir jetzt die einzelnen Summanden ansiehst, erkennst du, dass alle mit ungeradem k gleich Null sind. Übrig bleiben also nur die Summanden mit geradem k. Insbesondere können wir daher die Obergrenze n bei der Summenbildung als gerade annehmen, also n=2N, wobei
N=\mbox{floor},\left(\frac{n}{2}\right)\in
\mathbb{N}
eine natürliche Zahl ist. Die verbliebene Summe kann man nun wie folgt schreiben:
=\sum_{k=0}^N\binom{n}{2k}\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2k}+(-1)^{2k}\left(\sqrt{3}\right)^{2k}\right]
=\sum_{k=0}^N\binom{n}{2k}\left[3^k+3^k\right]
=\sum_{k=0}^N\binom{n}{2k}\cdot2\cdot3^k\in\mathbb{N}
Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl, weil alle 3 Faktoren natürliche Zahlen sind.
Viele Grüße
Hasenfuß