Bitte um Kontrolle!

Daniel_9f15e4 · 9. Dezember 2007 um 13:39

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe zur linearen Abbildung vorliegen, die mir aber irgendwie Kopfschmerzen bereitet und zwar, habe ich ein abgebildetes Quadrat Q mit Teilmenge ungleich R^2 besitzt die Eckpunkte P1=(-1,-1), P2=(1,-1), P3=(1,1) und P4=(-1,1). Bestimmen Sie alle Matrizen A, für die die lineare Abbildung
f: R^2 -> R^2: u-> Au
die Ecken des Quadrats auf sich selbst abbildet???

d.h. ich nehme die Drehmatrix A =(cos phi -sin phi, sin phi cos phi) suche mir zwei Punkte z.B. P1(-1,-1) und P2(1,-1) und setze deren Werte für x und y (also P1 in die oberste Reihe und P2 in die zweite Reihe ) ein und für die Winkel phi = 0, pi/2 , pi, und 3pi/2 jeweils in eine extra Matrix mit den zwei Pukten und dann bekomme ich ja vier Varianten Matrizen!!! Muss ich das dann auch für die anderen Punkte noch machen oder reicht das so? Stimmt mein Vorgehen so überhaupt? Es muss doch dargestellt werden, dass P1 auf P2 geht nach eine viertels Drehung oder?
Achso ich hab jetzt immer mit p1 und p2 gerechnet, aber ich muss erst p1 und p2 einsetzten und mit dem Winkel pi/2 rechnen, dann p1 und p3 und mit dem winkel pi rechnen und dann p1 und p4 und der winkel 3pi/2 und zuletzt p1 und p1 mit winkel 2pi oder 0???

stimmt das, dann bekomme ich insgesamt vier Matrizen oder muss ich das gleiche Vorgehen auch mit den anderen Punkten machen?
lg Daniel

michael_f7f5bc · 9. Dezember 2007 um 17:10

hi,

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe zur linearen Abbildung
vorliegen, die mir aber irgendwie Kopfschmerzen bereitet und

gegen mathematische kopfschmerzen das neue w-w-w forte.
über unerwünschte wirkungen informieren gebrauchsinformation, arzt, apotheker und der universiäre übungsleiter.

zwar, habe ich ein abgebildetes Quadrat Q mit Teilmenge
ungleich R^2 besitzt die Eckpunkte P1=(-1,-1), P2=(1,-1),
P3=(1,1) und P4=(-1,1). Bestimmen Sie alle Matrizen A, für die
die lineare Abbildung
f: R^2 -> R^2: u-> Au
die Ecken des Quadrats auf sich selbst abbildet???

d.h. ich nehme die Drehmatrix A =(cos phi -sin phi, sin phi
cos phi) suche mir zwei Punkte z.B. P1(-1,-1)

bis hierher richtig. und jetzt einfacher …
wenn du A auf P1 anwendest, sodass z.b. der punkt P2 = (+1, -1) herauskommt, bekommst du :

/ \ / \ / \
|cos phi -sin phi | |-1 | | +1 |
| | \* | | = | |
|sin phi cos phi | |-1 | | -1 |
\ / \ / \ /

oder 
I: -cos phi + sin phi = 1
II: - sin phi - cos phi = -1

wenn du dieses gleichungssystem löst (cos phi = 0, sin phi = 1; also phi = 90° = pi/2), hast du die erste der möglichen drehungen.

wenn du P3 statt P2 eingibst bzw. P4, bekommst du die anderen drehungen.

hth
m.

Daniel_9f15e4 · 9. Dezember 2007 um 19:19

Hi, d.h ich bekomme nur die drei Matrizen oder wie? also Darstellung von P2 mit P1*A, Darstellung von P3 mit P1*A und Darstellung von P4 mit P1*A

Danke und schönen Abend noch!!!

MOD: TOFU-Zitat gelöscht.

michael_f7f5bc · 9. Dezember 2007 um 19:29

hi,

Hi, d.h ich bekomme nur die drei Matrizen oder wie? also
Darstellung von P2 mit P1*A, Darstellung von P3 mit P1*A und
Darstellung von P4 mit P1*A

wenn du mit A die drehungsmatrix mit noch unbekanntem drehungswinkel phi ansetzt, bekommst du mit dem ansatz
P2 = A*P1 die erste lösung. (ein A mit bekanntem phi); mit
P3 = A*P1 die zweite lösung und mit
P4 = A*P1 die vierte.

du wirst feststellen können, dass die lösungen (nennen wir sie A1, A2, A3) miteinander zu tun haben, nämlich A1*A1 = A2; A1*A2 = A3.
anschaulich: wenn du zweimal um 90° drehst, ist das wie eine drehung um 180°.
m.

Daniel_9f15e4 · 9. Dezember 2007 um 19:40

das kappier ich nicht ganz, ich weiss doch, eigentlich, dass ich einmal um 90°, dann um 180° und dann um 270° drehen muss, und so irgendwie 3 Matrizen dann bilden kann?

MOD: TOFU-Zitat gelöscht.

michael_f7f5bc · 9. Dezember 2007 um 20:00

das kappier ich nicht ganz, ich weiss doch, eigentlich, dass
ich einmal um 90°, dann um 180° und dann um 270° drehen muss,
und so irgendwie 3 Matrizen dann bilden kann?

ja. eh.
m.

Daniel_9f15e4 · 9. Dezember 2007 um 20:05

das heißt wenn ich phi berechnet habe setze ich es wieder in die Ausgangsmatrix ein und bekomme somit meine Matrize oder?

MOD: TOFU-Zitat gelöscht.

michael_f7f5bc · 9. Dezember 2007 um 20:07

ja. eh.
m.

Martin · 9. Dezember 2007 um 20:20

/ \ / \ /
|cos phi -sin phi | |-1 | | +1 |
| | * | | = | |
|sin phi cos phi | |-1 | | -1 |
\ / \ / \ /

oder
I: -cos phi + sin phi = 1
II: - sin phi - cos phi = -1

Hallo,

aber Obacht, damit erfasst Du nicht alle acht möglichen Abbildungen, sondern nur die vier davon, die die z-Achse als Drehachse haben. Du erfüllst die Bedingung „die vier Punkte werden auf sich selbst abgebildet“ aber auch, wenn Du um die x-Achse, die y-Achse sowie die beiden Winkelhalbierenden um jeweils 180° drehst. Diese „aus der Ebene herausführenden“ Drehungen sind äquivalent zu Spiegelungen. Beispiel: (1, 1) wird auf (1, -1) abgebildet und umgekehrt, (-1, 1) wird auf (-1, -1) abgebildet und umgekehrt. Die zugehörige Operation ist die Spiegelung an der x-Achse.

Gruß und schönen Abend noch
Martin

Daniel_9f15e4 · 9. Dezember 2007 um 20:26

ich soll ja auch nur die Matrizen A bestimmen für die die lineare Abbildung die Ecken des Quadrats auf sich selbst abbildet!!!

MOD: TOFU-Zitat gelöscht.

michael_f7f5bc · 9. Dezember 2007 um 21:07

aber Obacht, damit erfasst Du nicht alle acht möglichen
Abbildungen, sondern nur die vier davon, die die z-Achse als
Drehachse haben. Du erfüllst die Bedingung „die vier Punkte
werden auf sich selbst abgebildet“ aber auch, wenn Du um die
x-Achse, die y-Achse sowie die beiden Winkelhalbierenden um
jeweils 180° drehst. Diese „aus der Ebene herausführenden“
Drehungen sind äquivalent zu Spiegelungen. Beispiel: (1, 1)
wird auf (1, -1) abgebildet und umgekehrt, (-1, 1) wird auf
(-1, -1) abgebildet und umgekehrt. Die zugehörige Operation
ist die Spiegelung an der x-Achse.

interessanter hinweis; ganz richtig, aber daniel hat zunächst nun mal keine z-achse, sondern offenbar lediglich den R^2. wäre interessant, ob in diesem fall die von dir genannten drehungen zugelassen werden bzw. mitgemeint sind. (natürlich kann man den R^2 im R^3 einbetten und dann dort rechnen. da wär daniel aber vermutlich zunächst überfordert.)

würdest du eine spiegelung eines 3D-würfels auch als „drehung“ akzeptieren - nämlich als drehung im R^4 ???

m.

MOD: Überflüssiges Vollzitat gekürzt.

Martin · 9. Dezember 2007 um 22:37

Hallo,

würdest du eine spiegelung eines 3D-würfels auch als „drehung“
akzeptieren - nämlich als drehung im R^4 ???

nixohnemeinenanwaltsag… lach

Die Aufgabe lautet, alle Abbildungen zu bestimmen, die die vier Quadrat-Punkte (1, 1), (-1, 1), (-1, -1) und (1, -1) auf sich selbst abbilden.

Zunächst bildet jede lineare Abbildung

 M = (m p)
 (n q)

den Punkt (x, y) auf den Punkt (x’, y’) ab, mit

 x' = m x + p y
 y' = n x + q y

So weit so gut. Wir haben vier Punkte gegeben, die ich mal wie folgt bezeichne:

 B = (-1, 1) A = (1, 1)
 C = (-1, -1) D = (1, -1)

Jetzt greife ich mir den Punkt A heraus. Für seinen Bildpunkt gibt es vier Möglichkeiten: A wird auf A, d. h. sich selbst abgebildet, oder auf Punkt B oder auf Punkt C oder auf Punkt D.

Jede dieser vier Möglichkeiten schränkt nun M in bestimmter Weise ein. Beispiel: A werde auf A abgebildet. Das bedeutet x = y = 1 und x’ = y’ = 1. Daraus folgt:

 1 = m·1 + p·1  ==\>  p = 1 – m
 1 = n·1 + q·1  ==\>  q = 1 – n

Damit wissen wir, dass alle „A-auf-A-Abbildungen“ diese Form besitzen:

 M[A-\>A] = (m 1-m)
 (n 1-n)

Die analoge Berechnung der speziellen Formen aller „A-auf-B-Abbildungen“, aller „A-auf-C-Abbildungen“ sowie aller „A-auf-D-Abbildungen“, liefert:

 M[A-\>B] = (m -1-m)
 (n 1-n) 

 M[A-\>C] = (m -1-m)
 (n -1-n) 

 M[A-\>D] = (m 1-m)
 (n -1-n)

Nun kann man sich überlegen, dass für m und n nur die vier Wertepaare

 m = 1, n = 0
 m = 0, n = 1
 m = -1, n = 0
 m = 0, n = -1

in Frage kommen, weil sonst entweder singuläre Matrizen rauskommen (Nullspalte), oder welche, bei denen z. B. 2 oder –2 als Elemente auftauchen (man teste mal m = n = 0 oder m = n = 1 oder m = n = -1). In diesen Fällen wird dann einer der Punkte B, C, D „sonstwohin“ abgebildet, weshalb das zugehörige M nicht zur Lösungsmenge gehören kann.

Wendet man die vier (m, n)-Wertepaare auf die vier M-Formen an, bekommt man 16 M-Matrizen. Acht davon enthalten jedoch 2 oder –2 als Element und scheiden deshalb aus.

Die verbleibenden acht sind:

1. (1 0) alle Punkte auf sich selbst
 (0 1) = identische Abbildung I

2. (-1 0) A C, B D
 (0 -1) = Drehung um 180°

3. (0 1) A --\> A, C --\> C, B D
 (1 0) = Spiegelung an 1. Winkelhalbierenden 

4. (0 -1) B --\> B, D --\> D, A C
 (-1 0) = Spiegelung an 2. Winkelhalbierenden

5. (0 1) A D, B C
 (-1 0) = Spiegelung an x-Achse

6. (0 -1) A B, C D
 (1 0) = Spiegelung an y-Achse

7. (-1 0) A --\> B --\> C --\> D --\> A
 (0 1) = Linksdrehung um 90°

8. (1 0) A --\> D --\> C --\> B --\> A
 (0 -1) = Rechtsdrehung um 90°

Malt man sich zu jedem Fall die vier Punkte mit entsprechenden Pfeilen dazwischen auf, sieht man, dass zwischen den Matrizen einige Zusammenhänge gelten müssen, wie etwa

• M₂ bis M₆ sind jeweils zu sich selbst invers.
• Die Inverse von M₇ ist M₈ und umgekehrt.
• M₇² = M₈² = M₂

Dass das alles tatsächlich so ist, davon kann man sich dann noch durch Rechnung überzeugen.

wäre interessant, ob in diesem fall die von dir genannten
drehungen zugelassen werden bzw. mitgemeint sind.

Wenn man die Aufgabe so löst, stellt sich diese Frage gar nicht.

Gruß
Martin

michael_f7f5bc · 9. Dezember 2007 um 23:28

bravo & (*). sehr sorgfältig und elegant durchgezogen.
ich hatte mich wohl zu sehr auf daniels drehungsansatz fixiert.
m.