Hallo zusammen,
schon wieder benötige ich eure Hilfe - und zwar bei dieser Problemstellung.
Ich habe die Funktion f(x), die auf [0,oo) stetig und differenzierbar ist. f(0)=0 und f’(x) ist monoton wachsend.
Dann gibt es die Funktion g(x) mit g(x) = f(x) / x, definiert auf (0,oo).
Jetzt möchte ich nachweisen, dass auch g(x) monoton wachsend ist. Das ist der Fall, wenn g’(x) >=0.
Aber wie kann ich das zeigen? Für x>1 bekomme ich das hin, aber wie kann ich das auch für 0
Hallo,
man könnte zum Beispiel folgendermaßen vorgehen:
Die Definition von g(x) ableiten.
Diese Ableitung in eine Ungleichung einsetzen (da sie ja größer als 0 sein muss)
Nach ein bisschen Umformen kommt man auf
f’(x) > f(x) / x
Auf der linken Seite ist also die Ableitung der Funktion. Rechts ist der Anstieg der Geraden, die durch O und den jeweiligen Kurvenpunkt geht. Dann kannst du dir überlegen, warum das zwangsläufig gelten muss, wenn f’(x) monoton steigt.
Und fertig ist der Beweis.
Nico
Hi Nico,
danke für die Antwort, nur komme ich immer noch nicht weiter.
f’(x)
Die Ungleichung ist anders rum:
f’(x) >= f(x) / x
Nachfolgend nur für positive Werte. Neagtive sollten analog sein…
Betrachten wir einen beliebigen Punkt P(x, f(x)). Und das dazugehörige Dreieck OQP mit Q(x, 0)
Dann kannst du dir überlegen, dass die Kurve in diesem Dreieck liegen muss (oder darunter). Wäre sie darüber, müsste sie irgendwo einen höheren Anstieg haben. Also müsste der Punkt P höher liegen. Der Anstieg fällt ja nicht wieder. Wenn sie in dem Dreieck liegt, siehst du, dass sie nicht unter der Geraden OP weiterlaufen kann. Dann müsste sie einen kleineren Anstieg haben, als sie vorher schon hatte.
Also gilt im Punkt P: f’(x) >= f(x) / x.
Die Ausführung ist absichtlich etwas allgemeiner, da du ja auch selbst noch etwas überlegen wolltest 
Nico
Hi Nico,
vielen Dank für deine Hilfe.
Ich bin nicht drauf gekommen, das ich f(x)/x als Steigung der Graden interprätieren kann.
Hab es mir mal aufgemalt und dann auch hinbekommen.
Danke und ein schönes Wochenende noch!