Hallo Leute!
Ich bin gerade dabei die Bogenlänge der Kardioide zu
berechnen.
OK, bezeichnen wir die Kurvenlänge mal mit gamma, damit es mit den Formeln unten paßt.
Die Bogenlänge ist normalerweise für
x(t)=(u(t),v(t)) folgendermaßen definiert:
L(gamma):= integral ||x’(t)|| dt
und
||x’(t)|| = sqrt( (u(t))2 + (v(t))2 )
Hier hast Du vergessen rechts die Ableitungen zu benützen!
x(t)=(u(t),v(t)) ==> x’(t)=(u’(t),v’(t))
||x’(t)||=sqrt((u’^2(t)+v’^2(t))
Bemerkung: Die Formel für die Kurvenlänge gilt allerdings nur falls die Kurve glatt ist!
(d.h. u’(t) und v’(t) nicht gleichzeiteig verschwinden.)
Nun zu meiner Frage: Warum berechnet man bei der Kardioide
x(t) = r(t) * (cos(t),sin(t)), r(t) = cos(t)+1,
Demnach ist bei der Kartoide:
u(t)=r(t)*cos(t) und
v(t)=r(t)*sin(t).
(Polarkoordinatendarstellung)
die Norm von x’(t) nicht wie oben beschrieben, sondern
folgendermaßen:
||x’(t)|| = sqrt( r(t)2 + r’(t)2 ) ?
Rechne nun mal mit den Ableitungen durch. Wirst sehen es paßt!
Ich tippe mal darauf, daß das was mit dem Einheitskreis zu tun
hat, doch was? Und wie?
Hast recht insofern laut Einheitskreis stets gilt:
cos^2(x)+sin^2(x)=1
Danke für Eure Hilfe!
Mone.
Hoffe Dir etwas geholfen zu haben.
Helga
