Bohrung durch Erde!

[sara187]

Man denke sich in der Erdkugel eine Bohrung von Pol zu Pol, in die man eine Masse m hineinfallen lässt (Betrag der Gravitationskraft innerhalb der Erde F = mgr/R mit dem Abstand vom Erdmittelpunkt r und dem Erdradius R).
(a) Welche Periodendauer T der sich einstellenden Schwingung der Masse zwischen den Polen würde man feststellen?
(b) Wie groß ist ihre Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt?
für a) hab ich gerechnet Fg=fz

m*g=m*w^2*r w=2pi/T

also T=sqrt 4pi*r/g
ist das richtig?

Für b habe ich einen ähnlichen Lösungsweg benutzt
Fg=Fz
m*v^2/r=m*g
v= sqrt g*r

Natürlich benutze ich den halbierten Radius der Erde, da es sich ja um den Erdmittelpunkt handel.
dann komme ich aber auf eine Geschwindigkeit von 5589,29m/s, das kann ja gar nich stimmen, oder?

[Michael_Bauer_c1319c]

Man denke sich in der Erdkugel eine Bohrung von Pol zu Pol, in
die man eine Masse m hineinfallen lässt (Betrag der
Gravitationskraft innerhalb der Erde F = mgr/R mit dem Abstand
vom Erdmittelpunkt r und dem Erdradius R).
(a) Welche Periodendauer T der sich einstellenden Schwingung
der Masse zwischen den Polen würde man feststellen?
(b) Wie groß ist ihre Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt?
für a) hab ich gerechnet Fg=fz

Warum? Mit Fz meinst Du (wie aus dem Folgenden klar wird) eine Zentripetalkraft. Zentripetalkräfte spielen bei Kreisbewegungen eine Rolle. Haben wir es mit einer Kreisbewegung zu tun? Nö. Also muss die Lösung grundlegend falsch sein.

Wie löst man eine Mechanik-Aufgabe?

Mit Schmalspurphysik, wie sie an der Schule üblich ist:

1. Man fragt sich, welches Kraftgesetz anzwuwenden ist.
2. Man überlegt sich, welche Bewegungsart daraus abzuleiten ist.
3. Man formuliert die Bewegungsgesetze, so wie man es für diesen Spezialfall gelernt hat.
4. Man rechnet die gesuchten Größen aus.

zu 1): Die Kraft auf einen Körper im Erdinneren beträgt F® = - m * g * r/R (R: Erdradius). Warum das so ist … nimm’s einfach hin. Ich habe jetzt keine Lust, das herzuleiten.

zu 2): Da F® ~ -r, handelt es sich um einen harmonischen Oszillator. Dessen Differenzialgleichung lautet … und deren Lösung ist ω = … . (Ein bisschen was darfst Du auch noch selbst schaffen).

zu 3)
r(t) = R * cos ωt
v(t) = -ωR * sin ωt
a(t) = -ω²R * cos &omeega;(t)

zu 4)
Das darfst Du erledigen.

Michael

PS: Mir zieht es immer die Schuhe aus, wenn jemand ein ω als w schreibt, ein ρ als p oder ein ν als v. Die griechischen Glyphen kriegt man in diesem Editor dadurch geschrieben, dass man z. B. für ein ω „& omega ;“ (ohne Leerzeichen) eintippt.

[VIKTOR_029fb4]

Hallo Michael,

Man denke sich in der Erdkugel eine Bohrung von Pol zu Pol, in
die man eine Masse m hineinfallen lässt (Betrag der
…
(b) Wie groß ist ihre Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt?
für a) hab ich gerechnet Fg=fz

Warum? Mit Fz meinst Du (wie aus dem Folgenden klar wird) eine
Zentripetalkraft. Zentripetalkräfte spielen bei
Kreisbewegungen eine Rolle. Haben wir es mit einer
Kreisbewegung zu tun? Nö.

wie Dir bekannt kommt diese Fragestellung mit dem Loch durch die
Erde mind. alle halbe Jahr mal wieder und Frage und Antworten sind
nur halb durchdacht.
Wir haben es auch mit einer Kreisbewegung zu tun in der „Realität“
wenn es denn so möglich wäre.

Wie löst man eine Mechanik-Aufgabe?
Mit Schmalspurphysik, wie sie an der Schule üblich ist

Wenn man dies „exakt“ lösen wollte geht Schmalspurphysik nicht.
Die Erde dreht sich, wenn der Körper durch das Loch fallen soll.
Wie müßte das Loch aussehen, damit der Körper das Loch nicht
berührt ? Geht also so garnicht.
Und wenn der Körper das Loch „reibungsfrei“ berührt - dann wird es
komplizierter, da kommt ja noch ein kleines Fz hinzu.
Käme Reibung hinzu ,z.Bsp. eine Kugel welche entlang eines „glatten“
Loches rollt, dann bleibt diese irgendwann mal in der Erde stecken.
(Rollreibung,Drehbeschleunigung der Kugel)

1. Man fragt sich, welches Kraftgesetz anzuwenden ist.

genau - und welche man ignoriert, damit es, wenn auch nicht der
Realität entsprechend, nicht zu kompliziert wird.
Häng hier also nicht den Pauker raus, welcher den Fragesteller
schulmeistert und in die Ecke stellt, weil er nicht brav gelernt
hat und es wagt hier Fragen zu stellen.
Unbeabsichtigt hat er uns (mir) mit seiner nicht ganz korrekten
Bezeichnung der Kraft (worüber Du Dich überheblich mokierst) gezeigt
daß die üblichen Antworten auf diese Frage unvollständig,unkorrekt
waren und sind.

nimm’s einfach hin. Ich habe jetzt keine Lust, das herzuleiten.

Ist doch auch ziemlich überheblich - oder ?
Wie auch dies:

Mir zieht es immer die Schuhe aus, wenn jemand ein ω
als w schreibt, ein &rho

Nicht jeder kann und will hier einen langen Pseudocod für ein
Zeichen eingeben.
Gruß VIKTOR

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo Viktor!

Zur Drehung der Erde: Es stand in der Fragestellung, dass die Bohrung „von Pol zu Pol“ führen soll.
Nur in diesem Fall kann man das Problem so angehen, wie ich es getan haben. Ansonsten wird es scheußlich kompliziert, wie Du angedeutet hast. Unter der gegebenen Voraussetzung wird es jedoch deutlich einfacher.

Häng hier also nicht den Pauker raus, welcher den Fragesteller
schulmeistert und in die Ecke stellt, weil er nicht brav
gelernt hat und es wagt hier Fragen zu stellen.

Wenn ich ihn überhaupt für etwas kritisiere, dann dafür, dass er brav gelernt hat. Und zwar hat er brav auswendig gelernt, wie man Gewichtskraft und Zentripetalkraft gleichsetzen kann, um bestimmte Größen auszurechnen. Über dieses auswendig gelernte Wissen verliert er völlig den physikalischen Sachverhalt aus den Augen und erleidet mit seiner technisch richtig angewendeten, aber für die Fragestellung unpassenden Lösungsstrategie Schiffbruch.

Was ich ihm mitteilen wollte, war nicht: „Nimm erst diese Formel und dann jene, …“ sondern: „Schalte Dein Hirn ein und Deinen gesunden Menschenverstand. Was passiert da? Warum passiert es? …“

Mag sein, dass mir das nicht so gelungen ist, wie ich wollte, aber mein Ziel war es definitiv nicht, jemanden „in die Ecke zu stellen“.

… mit seiner nicht ganz korrekten
Bezeichnung der Kraft (worüber Du Dich überheblich mokierst) …

Es geht hier nicht um eine „nicht ganz korrekte Bezeichnung“, sondern um ein grundlegendes Missverständnis des physikalischen Sachverhalts. Wir haben es hier nicht mit einer Kreisbewegung zu tun, sondern mit einer Schwingung.

nimm’s einfach hin. Ich habe jetzt keine Lust, das herzuleiten.

Ist doch auch ziemlich überheblich - oder ?

Du hast recht: Das klingt beim zweiten Lesen überheblich. Sorry. So war es nicht gemeint, sondern ganz wörtlich so, wie ich es geschrieben hatte: Ich hatte keine Lust, die Herleitung für die Formel auch noch mitanzugeben. Das war mir zu viel Aufwand.

Hier eine kurze Skizze der Herleitung:

Wenn man sich an einem Punkt P im Abstand r vom Mittelpunkt M einer homogenen Kugel mit Radius R befindet und möchte den Ortsfaktor g® bestimmen, dann teile man die Kugel zunächst in eine Kugel mit Radius r und eine Hohlkugel mit Innenradius r und Außenradius R ein.

Man zeige, dass die äußere Hohlkugel keinen Beitrag zu g® liefert und berechne dann den Beitrag der inneren Kugel. Deren Masse bzw. Volumen ist proportional zu r³. Da die Gravitationskraft nach Newton mit r² fällt, bleibt unterm Strich eine lineare Abhängigkeit von r übrig.

Da g(r=R) = g bekannt ist und g(r=0) = 0 ist, kann man einfach schreiben g® = g * r/R.

Michael

[Martin]

Hallo Michael,

Warum? Mit Fz meinst Du (wie aus dem Folgenden klar wird) eine
Zentripetalkraft. Zentripetalkräfte spielen bei Kreisbewegungen eine
Rolle. Haben wir es mit einer Kreisbewegung zu tun? Nö. Also muss die
Lösung grundlegend falsch sein.

so falsch muss die gar nicht sein, im Gegenteil: Falls in der Aufgabenstellung nicht nur angegeben gewesen wäre, dass der Körper in dem Tunnel eine Schwingung vollführt, sondern auch, dass diese Schwingung harmonisch ist, wäre die F_Z=F_G-Lösung des Aufgabenstellers sogar sehr clever (was ihm bzw. ihr allerdings nicht bewusst sein dürfte). Dann könnte man nämlich so argumentieren: Man denke sich zu dem Pol-Pol-Tunnel noch einen zweiten, dazu orthogonalen Äquatorebene-Tunnel, in dem ein zweiter Körper π/2-phasenverschoben zu seinem Kollegen schwingt (natürlich alles hinreichend idealisiert zu verstehen: Keine Luft- oder andere Reibung, Erde kugelförmig + homogen + stillstehend usw.). Die Superposition beider Bewegungen ergibt dann – wenn es harmonische Schwingungen sind – die Kreisbewegung eines infinitesimal dicht über der Erdoberfläche umlaufenden Satelliten (oder andersrum: Die Schwingungen sind die 1D-Projektionen der Satellitenbewegung auf die Tunnel). Dessen Umlaufdauer ergibt sich aus dem Ansatz F_Z = F_G mit F_Z = mRω² und F_G = mg zu ω = √(g/R) und damit hat man auch das gesuchte ω der Tunnelkörper, weil die Umlaufdauer des Satelliten und die Schwingungsdauer identisch sind.

Gruß
Martin

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo Martin!

Was Du schreibst, stimmt zwar offensichtlich, wenn man die Ergebnisse beider Herleitungen vergleicht. Aber dennoch bleibt da eine Frage für mich offen:

Die Superposition beider
Bewegungen ergibt dann – wenn es harmonische Schwingungen sind
– die Kreisbewegung eines infinitesimal dicht über der
Erdoberfläche umlaufenden Satelliten (oder andersrum: Die
Schwingungen sind die 1D-Projektionen der Satellitenbewegung
auf die Tunnel). Dessen Umlaufdauer ergibt sich aus dem Ansatz
F_Z = F_G

Wie begründest Du a priori, dass der Punkt, dessen Projektion die beiden harmonischen Schwingungen ergibt, sich auf einer stabilen Bahn befindet, und zwar ausgerechnet auf derjenigen mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit? (Wenn - rein hypothetisch - die beiden Schwingungen schneller ablaufen würden, ergäbe ihre Superposition trotzdem eine Kreisbewegung, die sich aber nicht mehr aus F_Z = F_G herleiten ließe).

Michael

[VIKTOR_029fb4]

Hallo Michael,

Zur Drehung der Erde: Es stand in der Fragestellung, dass die
Bohrung „von Pol zu Pol“ führen soll. Nur in diesem Fall
kann man das Problem so angehen, wie ich es getan haben.

Du hast recht, ich habe da etwas schlampig gelesen und die Bohrung
beliebig gedacht. Trotzdem - der Mond müßte weg, sonst haben wir
auch nicht den gedachten Idealfall.

Was ich ihm mitteilen wollte, war nicht: "Nimm erst diese
Formel und dann jene,

Würde mir sehr entgegen kommen da das Verständnis des Sachverhaltes
nie über eine Formel kommt sondern umgekehrt.
Meine Dispute hier im Forum beruhen ja oft auf dieser meiner Sicht
gegen „angelernte“ Physik, welche eben oft nur Formelwissen
präsentiert.
Aber Deine Einlassung hier hörte sich eher wie Schelte an - nun ja,
lassen wir dies,aber es mußte mal gesagt werden.

Es geht hier nicht um eine „nicht ganz korrekte Bezeichnung“,
sondern um ein grundlegendes Missverständnis des
physikalischen Sachverhalts. Wir haben es hier nicht mit einer
Kreisbewegung zu tun, sondern mit einer Schwingung.

Sicher - er hat aber mit Fz wohl die „Zugkraft“ der Gravitation
bezeichnen wollen und sicher keine Kreisbewegung im Kopf gehabt
wie dann ich.

nimm’s einfach hin. Ich habe jetzt keine Lust, das herzuleiten.

Ich hatte keine Lust, die Herleitung
für die Formel auch noch mitanzugeben. Das war mir zu viel
Aufwand.
Hier eine kurze Skizze der Herleitung:
Wenn man sich an einem Punkt P im Abstand r vom Mittelpunkt M
einer homogenen Kugel mit Radius R befindet und möchte den
Ortsfaktor g® bestimmen, dann teile man die Kugel zunächst
…
Man zeige, dass die äußere Hohlkugel keinen Beitrag zu g®
liefert
…
Da g(r=R) = g bekannt ist und g(r=0) = 0 ist, kann man einfach
schreiben g® = g * r/R.

Bei homogener Masseverteilung.Schön wäre es - aber die Realität ist
anders.
g nimmt nicht konstant ab sondern erst etwa 10%** zu und hat dann
einen nichtlinearen abnehmenden Verlauf bei unserer Erde.
Trotzdem wird man da so vorgehen wie Du beschrieben, daß man den
unterschiedlichen Dichte-Aufbau der Erdkugel in mehrere Hohlkugeln
aufteilt.
Der Berechnungsgang zur Ermittlung der Zeit des fallenden
(besser durch die Erde durchschwingenden) Körpers ist dann
nicht mehr mit einer geschlossenen Formel, also einem Integral
allein darstellbar.
Gruß VIKTOR

**Andere mögen geringere Werte ermitteln je nach dem, welche
Präsentationen des Dichte-Aufbaus der Erde als Grundlage dienen.
Ich hatte diese aus einer über 50 Jahre alten Enzyklopädie entnommen
für meine Berechnungen.

[Martin]

Hallo Michael,

Wie begründest Du a priori, dass der Punkt, dessen Projektion
die beiden harmonischen Schwingungen ergibt, sich auf einer
stabilen Bahn befindet, und zwar ausgerechnet auf derjenigen
mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit?

jedes Dings, das frei (d. h. ausschließlich der Gravitation unterliegend) auf einer Kreisbahn mit Radius R um die Erde saust, muss dies mit der Kreisfrequenz tun, die aus dem Ansatz F_Z = F_G mit F_Z = mRω² und F_G = mg zu ω = √(g/R) folgt.

Ein evidentes Beispiel dafür wäre ein infinitesimal erdoberflächennaher Satellit. Aber auch die Superposition der beiden Tunnelkörper (zwei orthogonale Tunnel durch den Erdmittelpunkt, π/2-phasenverschobene Schwingungen mit Amplitude R und Kreisfrequenz Ω) ist ein solches Dings! Das ist es, weil auch diese Körper im Tunnel frei fallen und weil das Superpositionsprinzip gilt (*). Deshalb könnte und würde die sich durch die Superposition ergebende Bewegung – eine Kreisbahn mit Radius R und Kreisfrequenz Ω – tatsächlich von einem Körper vollführt werden. Da jedoch „Dings auf Kreisbahn mit Radius R“ nur mit der Kreisfrequenz ω = √(g/R) möglich ist, folgt daraus Ω = ω.

(*) Es gilt, weil die Bewegungsgleichung der Tunnelkörper linear ist. Diese Eigenschaft kann man aus der Tatsache schlussfolgern, dass die Lösung laut Aufgabenstellung eine harmonische Schwingung ist.

Gruß
Martin

[sara187]

Irgendwie seh ich jetzt gar nicht mehr durch.
In der ersten Aufgabe soll ich doch T ausrechnen. Was soll ich da mit &omega anfangen?

zu 2): Da F® ~ -r, handelt es sich um einen harmonischen
Oszillator. Dessen Differenzialgleichung lautet … und deren
Lösung ist ω = … . (Ein bisschen was darfst Du auch
noch selbst schaffen).

Die Lösung wäre ja ω =sqrt D/m. oder =sqrt g/R
Mit der Federkonstante kann ich ja gar nichts anfangen, also benutze ich eher die zweite Formel, aber wozu?

zu 3)
r(t) = R * cos ωt
v(t) = -ωR * sin ωt
a(t) = -ω²R * cos &omeega;(t)

Keine Ahnung was ich damit anfangen? Bis auf die Geschwindigkeit ist doch nichts von den Größen gesucht?

Sorry, bin nen absoluter Physikkrüppel und schon wieder kurz vor m Verzweifeln, weil ich nichts hinkriege und mich anscheinend echt zu doof anstelle!

[VIKTOR_029fb4]

Hallo Michael,

g nimmt nicht konstant ab sondern erst etwa 10% zu und hat
dann einen nichtlinearen abnehmenden Verlauf bei unserer Erde.

Andere mögen geringere Werte ermitteln je nach dem, welche
Präsentationen des Dichte-Aufbaus der Erde als Grundlage
dienen.
Ich hatte diese aus einer über 50 Jahre alten Enzyklopädie
entnommen für meine Berechnungen.

folgende Angaben fand ich jetzt bei WIKI (man muß nur nachschauen)
http://de.wikipedia.org/wiki/Erdschwerefeld#Im_Erdin…
hier ist die Zunahme von g nicht ca 10% sondern ca 8,9% errechnet.
Erstaunlich ist für mich - deshalb mein Nachtrag - daß dieses
Maximum da erst in einer Tiefe von knapp dem halben Erdradius
auftritt.Bei meinen (alten) Berechnungen zeigt sich dieses schon
in einer Tiefe von etwa 1200 km, natürlich bei einer anderen
Dichteverteilung nach damaligen Erkenntnissen.
Wie Du aus der Grafik sofort ersehen kannst, ist der Verlauf von g
alles andere als geradlinig.Solche (übliche) Annahme bei diesen
Diskussionen (Erdloch) bringen bei der Berechnung erhebliche
Abweichungen von der Wirklichkeit weshalb man die geradlinige
Abnahme der Erdbeschleunigung hin zum Erdmittelpunkt auch nicht
mehr bringen sollte - wenn man den Fragesteller wirklich informieren
will.
Gruß VIKTOR

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Irgendwie seh ich jetzt gar nicht mehr durch.
In der ersten Aufgabe soll ich doch T ausrechnen. Was soll ich
da mit ω anfangen?

Wenn Du ω kennst, kennst Du auch T, denn

ω = 2πf = 2π/T

zu 2): Da F® ~ -r, handelt es sich um einen harmonischen
Oszillator. Dessen Differenzialgleichung lautet … und deren
Lösung ist ω = … . (Ein bisschen was darfst Du auch
noch selbst schaffen).

Die Lösung wäre ja ω =sqrt D/m. oder =sqrt g/R
Mit der Federkonstante kann ich ja gar nichts anfangen, also
benutze ich eher die zweite Formel, aber wozu?

Worauf ich raus wollte: Zunächst schreibst Du die Differenzialgleichung hin

F = ma (das gilt immer)

mit F = - m g r/R (wie gesagt)

und a = r’’ (soll eigentlich „r Zweipunkt“ heißen, aber das ist so schwer darzustellen.

Daraus folgt also:

• m g r/R = m r’’

bzw:

r’’ + g/R r = 0.

Das ist die DGL eines harmonischen Oszillators und der Vorfaktor von r ist das Quadrat der Kreisfrequenz ω, die wir brauchen, um T auszurechnen.

ω = √(g/R)

zu 3)
r(t) = R * cos ωt
v(t) = -ωR * sin ωt
a(t) = -ω²R * cos ω(t)

Keine Ahnung was ich damit anfangen? Bis auf die
Geschwindigkeit ist doch nichts von den Größen gesucht?

Stimmt. Aber ich habe hier veruscht, eine allgemeine Lösung zu skizzieren, die auch bei leicht abweichenden Fragestellungen anwendbar ist. In diesem Fall brauchst Du tatsächlich nur v.

Sorry, bin nen absoluter Physikkrüppel und schon wieder kurz
vor m Verzweifeln, weil ich nichts hinkriege und mich
anscheinend echt zu doof anstelle!

Nicht verzweifeln! „Die Dinge sind nicht so schlimm, wie sie aussehen“ (R. Feynman). In Physik geht es im wesentlichen darum, dass man versteht, was man beschreiben will, durch welche Ursachen es bestimmt wird und wie man das in Formeln ausdrückt. Wenn man das verstanden hat, wird Physik ganz einfach. Belaste Dein Gedächtnis nicht mit absurden Formel-Monstern, sondern präge Dir die Grundgedanken gut ein.

F = m a ist nicht einfach „Eff gleich Emm mal Ah!“, sondern es besagt, dass man jede Bewegungsänderung (a) vorhersagen kann, wenn man weiß, welche Kräfte (F) auf einen Körper (m) einwirken.

Michael

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo Martin!

Den Gedankengang verstand ich wohl, aber es ging mir um einen anderen Punkt, nämlich die Begründung dafür, dass der Punkt der aus der Superposition entsteht, sich auf einer Satellitenbahn befindet.

Nochmal ganz langsam:

1. Du gehst davon aus, dass die beiden Massen jeweils harmonisch schwingen.
2. Dies setzt eine lineare Abhängigkeit der Zentralkraft voraus.
3. Für die Kreisfrequenz der beiden Oszillatoren erhalten wir jeweils ω.
4. Durch Superposition ergibt sich bei einer Phasenverschiebung von π/2 ein Kreis mit Radius R.

Wie kannst Du - von diesen vier Sätzen ausgehend - begründen, dass die Umlaufdauer T dieses gedachten Punktes gleich groß ist, wie für einen Satelliten, bei dem FZ = FG gilt?

Was mir da besonders problematisch erscheint: Wie baust Du Satz 2 in Deine Argumentation ein, denn das Erdinnere spielt für den Satelliten ja gar keine Rolle. Viktor hat in einem anderen Nebenthread jedoch richtigerweise darauf hingewiesen, dass die „Musterlösung“ nur für den Fall einer homogenen Erdkugel richtig wäre. Die Satellitenbahn ist aber auch für eine inhomogene (aber isotrope) Erdkugel korrekt.

Bin gespannt!
Michael