Boolsche Algebra Vereinfachung

Wissenschaft Mathematik
#1

Gibt es eine einfache Erklärung wie man folgendes vereinfacht? z.b. x+(yz)+(xz+y)
Ich würde gerne meinen Freund bei seinem Studium unterstützen, da er mit der Booleschen Algebra Probleme. Soweit verstehe ich auch wie das mit AND, OR und NOT funktioniert sofern die Buchstaben einen Wert von 0 oder 1 haben. Ich komme leider nicht weiter wenn da plötzlich kein Wert mehr vorgegeben ist und online konnte ich bisher noch keine gute Erklaerung finden, wie man das mit der Wahrheitstabelle berechnet. Gibt es einen einfachen Weg das zu erklären?

#2

Moin,

ich kann Dir leider nur schnell ein Stichwort liefern:

http://de.wikipedia.org/wiki/Karnaugh-Diagramm

Ich bin nicht mehr sehr geübt, Deine konkrete Aufgabe umzuformen und habe jetzt auch keine Zeit.

Vlt. hilft es ja doch erstmal.

Gruß Volker

#3

Gibt es eine einfache Erklärung wie man folgendes vereinfacht?
z.b. x+(yz)+(xz+y)
Soweit verstehe ich
auch wie das mit AND, OR und NOT funktioniert sofern die
Buchstaben einen Wert von 0 oder 1 haben. Ich komme leider
nicht weiter wenn da plötzlich kein Wert mehr vorgegeben ist.

Hallo,

bei dem Beispiel würde ich eine Fallunterscheidung machen in die drei (nicht disjunkten) Fälle

  1. yz=1 y=1 AND z=1
  2. y=0
  3. z=0

Damit kriegst du

x+(yz)+(xz+y)=\begin{cases}2(x+1) & ,y=1\ AND\ z=1\x(z+1) & ,y=0\x+y & ,z=0\end{cases}

Gruß,

hendrik

#4

Hallo DejahThoris,

das Vereinfachen von Booleschen-Funktionen funktioniert eigentlich genauso wie das vereinfachen anderer mathematischer Terme. Darum liegt die Notation
x + y := x OR y
xy := x AND y
auch recht nahe. Man einigt sich darauf, dass das AND stärker bindet (analog zu Punkt vor Strich), so dass unnötige Klammern wegfallen. Die Boolesche-Algebra gibt Gesetze vor, die es gilt gewinnbringend einzusetzen. Tendenziell heißt das: Distibutivgesetz zum Ausmultiplizieren und Assoziativgesetz zum Eliminieren unnnötiger Klammern benutzen. Dann mit den übrigen die Terme verkleinern. Bei deinem Beispiel:
x + (yz) + (xz + y) = x + yz + xz + y = x + xz + y + yz = x + y
wobei im letzten Schritt vom Absorptionsgesetz gebraucht gemacht wurde: x + xz = x und y + yz = y

Natürlich stellt sich die frage „wie kann ich sicher sein, dass der gefundene Term minimal ist?“ Minimalpolynome findet man, wie schon von meinem Vorredner gepostet mit einem Karnaugh-Veitch-Diagramm oder dem Algorithmus von Quine/McCluskey. Vielleicht reicht dir das als Antwort erstmal, ansonsten frag ruhig weiter :smile:

LG