ich haben eine Frage an euch: wie kann man das Gesetz von Boyle-Mariotte (p1*V1=p2*V2) als dynamische Gleichung aufstellen?
Der Hintergrund: Ich möchte/muss ein System beschreiben, dass ein konstantes Volumen besitzt (ein Behälter), dem aber ein Volumenstrom Q1 zugeführt und ein Volumenstrom Q2 abgeführt wird. Gesucht ist der Druck in dem Behälter. Ich dachte mir, dass ich das doch so machen kann, dass ich annehme p2*V2=p1*(V1+Integral(Q1-Q2)). Was meint ihr, kann ich das so machen? Aber jetzt fehlt mir immernoch die dynamische Beschreibung. Ich möchte nämlich eine den Druck als Funktion der Volumenströme und des Volumens haben (und noch ein paar Konstanten, wenn es sein muss ) -> p = f(V,Q1,Q2)
Und die Annahme ist, dass der Druck in dem Behälter überall gleich groß ist.
Ich benenne einmal Q1 in Qa und Q2 in Qb um, damit in der
weiteren Rechnung Verwirrung vermieden wird.
Wenn die Volumenströme Qa und Qb nicht vom Druck im Behälter
abhängen, ist es vollkommen simpel.
Das Integral über Qa-Qb über die Zeitachse von t1 bis t2 ergibt
die auf das System einwirkende Volumenänderung V (die hier auch
negativ sein kann), und es gilt:
p1 * V1 = p2 * (V1 + V),
wobei p1 und V1 Druck und Volumen zum Zeitpunkt t1 sind und
p2 und (V1 + V) Druck und Volumen zum Zeitpunkt t2 sind.
Nun muß man nur noch nach p2 umstellen.
In der Praxis werden Qa und Qb jedoch vom jeweils aktuellen
Druck in dem Behälter und von weiteren Regelungsgrößen abhängen.
Dann ist es leider nicht mehr so einfach.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Die beiden Volumenströme Q1/Qa und Q2/Qb sind natürlich schon vom Druck des Behälters abhängig (Q1 aus der Versorgungsleitung und Q2 in die Umgebung) aber die Bedingungen hab ich schon aufgestellt (natürlich mit Vereinfachungen und Annahmen …)
Ich brauche jetzt wirklich nur noch die Gleichung für den Druck.
Ich hab deine Lösung mal ausprobiert (vielen Dank dafür):
p1 * V1 = p2 * (V1 + V)
dann hab ich die Zeiten eingesetzt (dynamische Betrachtung):
p1(t1) * V1(t1) = p2(t2) * (V1(t1) + Integral [t1 nach t2](V dt)
und jetzt ist t2 ja nur t1 + delta t und umgeformt:
ich haben eine Frage an euch: wie kann man das Gesetz von
Boyle-Mariotte (p1*V1=p2*V2) als dynamische Gleichung
aufstellen?
Der Hintergrund: Ich möchte/muss ein System beschreiben, dass
ein konstantes Volumen besitzt (ein Behälter), dem aber ein
Volumenstrom Q1 zugeführt und ein Volumenstrom Q2 abgeführt
wird. Gesucht ist der Druck in dem Behälter.
Boyle-Mariotte gilt in isothermen geschlossenen Systemen. Isotherm mag Dein System ja sein, aber geschlossen ist es nicht, weil ein Stoffaustausch über die Systemgrenzen stattfindet. Wird dabei die Stoffmenge im Behälter verändert, dann darfst Du Boyle-Mariotte nicht mehr verwenden. Es geht aber mit der Zustandsgleichung des idealen Gases:
p·V = n·R·T
Unter der Annahme, daß im gesamten Gefäß derselbe Druck herrscht und auch die zu- und abgeführten Volumina bei diesem Druck gemessen werden, dann gilt für die Änderung der Stoffmenge im Behälter
dn/dt = dV/dt·p/(R·T)
und für die Druckänderung
dp/dt = dn/dt·R·T/V
Das führt mit dV/dt=Q1-Q2 zur Differentialgleichung
p2(t1+delta t) dies kann stehen bleiben, denn t1 + delta t bezeichnet hier den Zeitpunkt t2, dies ist also nur ein Index für die gerade gesuchte Größe
p1(t1) analog - t1 Index für gegebene Größe
V1(t1) analog
Aus dem Integralausdruck kannst du t1 und t2 eliminieren, indem du das Integral löst. Muß ich das erläutern ? Nun: eine Stammfunktion zu der Funktion Q(t) finden und in diese dann zunächst t2 und dann t1 einsetzen und hieraus die Differenz bilden.
p1(t1) * V1(t1) = p2(t2) * (V1(t1) + Integral [t1 nach t2](V
dt)
und jetzt ist t2 ja nur t1 + delta t und umgeformt:
vielen Dank für deine Antwort. Das mit dem geschlossenen System hab ich natürlich nicht mehr beachtet *schäm*
Die Gleichung, die du aufgeführt hast werde ich gleich mal ausprobieren und schauen, ob ich zu einer Lösung komme.
Gruß Axel
Zustandsgleichung des idealen Gases:
p·V = n·R·T
Unter der Annahme, daß im gesamten Gefäß derselbe Druck
herrscht und auch die zu- und abgeführten Volumina bei diesem
Druck gemessen werden, dann gilt für die Änderung der
Stoffmenge im Behälter
dn/dt = dV/dt·p/(R·T)
und für die Druckänderung
dp/dt = dn/dt·R·T/V
Das führt mit dV/dt=Q1-Q2 zur Differentialgleichung
Vielleicht hab ich mich ein bißchen unglücklich ausgedrückt. Ich möchte gerne eine Übertragungsfunktion haben. Das was DrStupid oben geschrieben hat trifft das eigentlich.
Mit Integralen und Ableitungen hab ich da ja keine Probleme, weil ich das ja als „s“ und „1/s“ schreiben kann. Ich wollte nur gerne eine Formel haben, mit der ich den Zusammenhang zwischen den Einflussgrößen beschreiben kann und was ich dann auch vielleicht in den PC eingeben kann um den Einfluss der verschiedenen Parameter zu testen (der Großteil der Einflüsse hab ich schon selber aufgestellt. *stolzbin* )
Vielen Dank für deine Bemühungen.
p2(t1+delta t) dies kann stehen bleiben, denn t1 + delta t
bezeichnet hier den Zeitpunkt t2, dies ist also nur ein Index
für die gerade gesuchte Größe
p1(t1) analog - t1 Index für gegebene Größe
V1(t1) analog
Aus dem Integralausdruck kannst du t1 und t2 eliminieren,
indem du das Integral löst. Muß ich das erläutern ? Nun: eine
Stammfunktion zu der Funktion Q(t) finden und in diese dann
zunächst t2 und dann t1 einsetzen und hieraus die Differenz
bilden.
Edit: Ich habe mir jetzt in der Mittagspause auch überlegt, ob man p1 und V1 nicht als Konstante einführt, dann hätte man:
ursprüngliche Formel:
p2(t1+delta t) = ( V1(t1) + integral[t1 bis t2](V dt) ) / ( p1(t1) * V1(t1) )
umwandeln in (mit t1=0, weil p1 und V1 die Startwerte sind)
p2(delta t) = ( V1 + integral[über delta t](V dt) ) / ( p1 * V1 )
und das könnte man schreiben als:
p2(t) = ( V1 + integral(V dt) ) / ( p1 * V1 )
und was wäre im Bildbereich:
p2(s) = ( V1 + 1/s * V ) / ( p1 * V1 )
Aber ich weiß jetzt nicht, welchem ich mehr trauen soll, dieser Lösung oder der mit der Lösung mit der idealen Gasgleichung.
p2(t1+delta t) dies kann stehen bleiben, denn t1 + delta t
bezeichnet hier den Zeitpunkt t2, dies ist also nur ein Index
für die gerade gesuchte Größe
p1(t1) analog - t1 Index für gegebene Größe
V1(t1) analog
Aus dem Integralausdruck kannst du t1 und t2 eliminieren,
indem du das Integral löst. Muß ich das erläutern ? Nun: eine
Stammfunktion zu der Funktion Q(t) finden und in diese dann
zunächst t2 und dann t1 einsetzen und hieraus die Differenz
bilden.
Ich glaube, um die Aufgabe eindeutig lösen zu können, muß näher beschrieben werden, was es mit den zu- oder abgeführten Volumina auf sich hat. Wenn die Öffnung für die abzuleitenden Volumina einfach offen ist, und nicht durch eine Regelung (Pumpe, Ventil) gesteuert wird, dann wird durch diese Öffnung ganz einfach ein Druckausgleich zu dem Behältnis hergestellt, in das diese Öffnung mündet. Wie ist dieses Behältnis beschaffen ? Hat es ein festes Volumen ? Oder handelt es sich einfach um die offene Umgebung ? Oder erfolgt die Abführung des Volumens über ein Steuersystem, so daß immer ein bestimmtes Volumen, bezogen auf einen bestimmten Druck abgeführt wird ? Ebenso bei der Zuführung: Auf welchen Druck bezieht sich die Angabe über das zugeführte Volumen ? Welche Größe ist bei der Zuführung als konstant anzusehen ? Das Volumen oder der Druck oder die Stoffmenge ? Und letztlich: Ist das Behältnis wärmeisoliert ?
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) -> p = f(V,Q1,Q2)