… tach Leute,
Stimmt diese Gleichung? Wie zeige ich Äquivalenz? Was ist der Trick?
1\*3\*...\*(2n-1) 2n
------------- = ( )\*(1/2)^2n
2\*4\*8\*...2^n n
dieses komische 2n und n mit () soll „2n über n“ darstellen…
danke und gruß
jartUl
P.S: Kann sein, dass die Formel gar nicht stimmt. Kann auch sein, dass unter dem Bruchstrich die geraden Zahlen statt die 2er Potenzen addiert werden. Aber weder so noch so oder gar so komme ich auf einen grünen Zweig.
… tach Leute,
Stimmt diese Gleichung? Wie zeige ich Äquivalenz? Was ist der
Trick?
1*3*…*(2n-1) 2n
------------- = ( )*(1/2)^2n
2*4*8*…2^n n
Hallo,
probier’s mit der vollständigen Induktion.
Anfang: Gültigkeit für n=1
1 2
- = ( )\*(1/2)^2
2 1
1 1
- = -
2 2
Soweit schonmal ok.
Weiter: Gültigkeit für n+1:
1\*3\*...\*(2n-1)\*(2(n+1)) 2(n+1)
----------------------- = ( )\*(1/2)^(2(n+1))
2\*4\*8\*...2^n\*2^(n+1) n+1
1\*3\*...\*(2n-1) 2(n+1) 2(n+1)
-------------- \* ------- = ( )\*(1/2)^(2(n+1))
2\*4\*8\*...2^n 2^(n+1) n+1
2n 2(n+1) 2(n+1)
( )\*(1/2)^2n \* ------- = ( )\*(1/2)^(2(n+1))
n 2^(n+1) n+1
Wenn Du nun (durch Vereinfachung) zeigst, dass diese Gleichung stimmt, dann hast du bewiesen, dass die Ausgangsgleichung für jedes n in N gilt. Dazu wirst du einige Regeln zur Umformung von Binomialkoeffizienten bzw. Fakultäten brauchen…
LG
Jochen
Hallo jartUl,
Der Trick ist schätz ich mal ein Beweis per Induktion.
Du Beweist das ganze für n=1 und dann beweist du dass aud der korrektheit für n->n+1 folgt…
habs mal probiert, und bei n=1:
l.s.=1/2
r.s.=2*1/4=1/2
l.s.=r.s.
passts auch.
dann kommen wir zu n->n+1
Also darf man verwenden, dass die Aussage für n stimmt und hat damit zu beweisen, dass sie auch für n+1 stimmt:
1\*3\*...\*(2n-1)\*(2\*(n+1)-1) 2(n+1)
--------------------------- = ( )\*(1/2)^2(n+1)
2\*4\*8\*...2^n\*2^(n+1) (n+1)
da man die n Aussage ja als korrekt annimmt setzt man sie hier ein:
2n 2\*(n+1)-1) 2(n+1)
( )\*(1/2)^2n \* ---------- = ( )\*(1/2)^2(n+1)
n 2^(n+1) (n+1)
Das so weit wie möglich vereinfachen (ist mir hier zum abtippen zu mühsam, aber wie man n über k auflöst und mit Fakultäten recnet weißt du hoffentlich, dann sollte man, Falls die Aussage WAHR ist eine allgemein gültige aussage bekommen (sowas wie n=n oder 1=1)hier komm ich aber (hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet) auf
n 2\*n + 1
--- = -------
2^n n+1
was leider sowas von überhaupt nicht gültig ist (probiers mal für n=3 z.B.) also wäre damit die ürsprüngliche Aussage falsch.
Mit den anderen Variationen kannst dus nach dem selben Schema ausprobieren, vielleicht stimmt ja eine andere
Induktive Grüße
Tranquilla
*freutsichüberjedeInduktion*
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Also wenn ich z.B. n=5 einsetze, gilt die Gleichung nicht. Links im Zähler steht das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner 2n, und im Nenner das Produkt aller 2-er Potenzen bis 2^n?
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Jallo Jartul.
Stimmt diese Gleichung? Wie zeige ich Äquivalenz? Was ist der
Trick?
Nein, diese Gleichung stimmt nicht. Setze fuer n eine Zahl ein und Du siehst, dass rechts und links unterschiedliche Werte herauskommen.
Aber es gilt eine aehnliche Gleichung. Nimm die rechte Seite und kuerze alle gemeinsamen Faktoren heraus:
\binom{2n}{n} * 2^{-2n}
= [(2n)!] / [(n!)^2 * 2^(2n)]
= [1*2*3*…*(2n)] / [(1*2*3*…*n)^2 * 2^(2n)]
= [1*2*3*…*(2n)] / [(2*4*6*8*…*(2n))^2]
= [1*3*5*7*…*(2n-1)] / [2*4*6*8*…*(2n-1)]
Gruss,
klaus
= [1*3*5*7*…*(2n-1)] / [2*4*6*8*…*(2n-1)]
Gruss,
klaus
Hi Klaus,
danke… jetzt haut’s hin. Wenn aber im Nenner als letzter Faktor 2n steht, nicht (2n-1)!
gruß
jartUl