Also es gibt ja den Satz: G sei eine endliche Gruppe, dann gilt für eine Teilmenge H von G, H ist genau dann Untergruppe von G, wenn H bezüglich der Verknüpfung auf G abgeschlossen ist.
Also die eine Richtung ist trivial aus der Definition.
Für die zweite weiß ich ja(bzw. schien trivial?), dass aufgrund der Abgeschlossenheit, zu jedem a aus H ein Inverses existieren muss. Ich habe mir dazu überlegt: Angenommen H hat n Elemente, und es gibt ein a zu dem kein Inverses existiert, dann gibt es aber n Verknüfungen mit a, mit höchstens n verschiedenen Ergebnissen, also gibt es ein ein b so dass a o b = a ist. Also gibt es ein neutrales Element( zumindest für a) Genau an dieser Stelle hakt es, denn wieso darf es theoretisch nicht sein dass a o a1 = a3 und a o a2 = a3 (gehe ich dann wieder zurück nach G und betrachte diese 2 Gleichungen und stelle fest, dass dann a1 = a2 gilt!???)
In G weiß ich ja, dass es zu a genau ein neutrales Element gibt, also muss das b genau dieses neutrale Element sein oder?
Also wäre sehr nett wenn mir einer nochmal zeigen kann wie man den beweis „schön“ strukturiert aufschreibt thx!
Also es gibt ja den Satz: G sei eine endliche Gruppe, dann
gilt für eine Teilmenge H von G, H ist genau dann Untergruppe
von G, wenn H bezüglich der Verknüpfung auf G abgeschlossen
ist.
Kurze Interpretation: H ist Teilmenge von G, alle a Element H sind auch Element von G, es gilt die Verknüpfung „o“ für H und G, wegen Abgeschlossenheit gilt a, b Element H dann ist a o b Element von H.
Für die zweite weiß ich ja(bzw. schien trivial?), dass
aufgrund der Abgeschlossenheit, zu jedem a aus H ein Inverses
existieren muss. Ich habe mir dazu überlegt: Angenommen H hat
n Elemente, und es gibt ein a zu dem kein Inverses existiert,
dann gibt es aber n Verknüfungen mit a, mit höchstens n
verschiedenen Ergebnissen, also gibt es ein ein b so dass a o
b = a ist. Also gibt es ein neutrales Element( zumindest für
a) Genau an dieser Stelle hakt es, denn wieso darf es
theoretisch nicht sein dass a o a1 = a3 und a o a2 = a3 (gehe
ich dann wieder zurück nach G und betrachte diese 2
Gleichungen und stelle fest, dass dann a1 = a2 gilt!???)
In G weiß ich ja, dass es zu a genau ein neutrales Element
gibt, also muss das b genau dieses neutrale Element sein oder?
Es müssen nur noch die Gruppenaxiome für (H;o) runtergeprüft werden. Abgeschlossenheit ist aufgrund Voraussetzung vorhanden. Assoziativgesetz a O (b O c) = (a o b) o c da alle verknüpften Elemente aus H wieder Element von H sind und wegen Gruppeneigenschaft von G das Assoziativgesetz Gültigkeit hat. Neutrales Element a o 0 = a ist gültig in G somit auch in H. Inverses Element a o a_inv = 0 ist gültig in G somit auch in H.
Also es gibt ja den Satz: G sei eine endliche Gruppe, dann
gilt für eine Teilmenge H von G, H ist genau dann Untergruppe
von G, wenn H bezüglich der Verknüpfung auf G abgeschlossen
ist.
Also die eine Richtung ist trivial aus der Definition.
also: wenn H untergruppe ist, dann ist o abgeschlossen
Für die zweite weiß ich ja(bzw. schien trivial?), dass
aufgrund der Abgeschlossenheit, zu jedem a aus H ein Inverses
existieren muss. Ich habe mir dazu überlegt: Angenommen H hat
n Elemente, und es gibt ein a zu dem kein Inverses existiert,
dann gibt es aber n Verknüfungen mit a, mit höchstens n
verschiedenen Ergebnissen, also gibt es ein ein b so dass a o
b = a ist. Also gibt es ein neutrales Element( zumindest für
a) Genau an dieser Stelle hakt es, denn wieso darf es
theoretisch nicht sein dass a o a1 = a3 und a o a2 = a3 (gehe
ich dann wieder zurück nach G und betrachte diese 2
Gleichungen und stelle fest, dass dann a1 = a2 gilt!???)
du denkst prinzipiell völlig richtig. du kannst zu jedem a € H alle verknüpfungen
a o x1
…
a o xn
bilden. (wobei n anzahl der elemente von H.)
das sind n verschiedene ergebnisse. wären welche gleich, wären sie auch in G gleich.
dann wär dort a o xi = a o xj
also auch 1/a o a o xi = 1/a o a o xj
also xi = xj
damit ist auch a selbst unter den ergebnissen, dh. es gibt ein xi sodass
a o xi = a
das auch in G, also 1/a o a o xi = 1/a o a = 1
also xi = 1
damit ist also auch 1 in H
also (endlichkeit) ist auch 1 unter den ergebnissen
also müssen auch alle inversen in H sein.
Ich glaub ich habs begriffen wie der Beweis auf zu schreiben ist
Beweis: „=>“ Trivial gemäß der Definition von Untergruppen!
„ b_i = b_j in G, also auch in H! Mehr Elemente wären ein Wiederspruch zu Voraussetzung #H = n.
Also gibt es genau ein neutrales Element b. => Es gibt genau ein Inversenelement zu jedem a. => H ist eine Untergruppe von G!
