Brauche dringend Hilfe bei Mathematik

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo, ich muss am Dienstag eine Unterrichtsstunde führen und 5 Matheaufgaben an die Klasse stellen. Diese sind sich alle sehr ähnlich, aber ich habe vergessen, wie man diese löst, da wir das Thema in der 11. Klasse hatten. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen kann.

Die Funktion A(t) = 3 – 3e-0,41t + 3e-2t beschreibt die typische Absatzkurve eines Textilgeschäfts im Jahresverlauf, wobei t für die Zeit in Monaten und K für den Absatz in ME pro Monat steht.

a)Begründen Sie rechnerisch, zu welchen Zeitpunkten der maximale Absatz und wann der minimale Absatz erreicht wird. Interpretieren Sie den Kostenverlauf.

b)Ermitteln Sie den Zeitpunkt des maximalen Absatzanstiegs und beziffern Sie ihn.

#2

Sie gehört zum Bereich der Extremwertaufgaben. In Verbindung mit Kurvendiskussionen ergeben sich auch solche Fragen nach Maxima, Minima etc.

zu a) Mögliche Extremstellen findet man, indem man die erste Ableitung nach t bildet und diese gleich Null setzt.
Ob bei diesen t dann wirklich eine lokale Extremstelle vorliegt ergibt sich entweder durch Betrachten der zweiten Ableitung (Krümmung) oder durch Ausrechnen des Werts der ursprünglichen Funktion für das jeweilige t.

Bei beschränkten Intervallen, wie es auch der Zeitraum eines Jahres ist, müssen auch noch die Randpunkte mitbetrachtet werden also t=0 und t=12. Die Ableitung an diesen Stellen ist vielleicht nicht =0, aber sie sind möglicherweise trotzdem eine Extremstelle.

b) Der maximale Anstieg ist dort wo die erste Ableitung ihrerseits ihr Maximum hat (denn die erste Ableitung beschreibt den Anstieg für alle Zeitpunkte).
Man bildet also davon die Ableitung (sog. zweite Ableitung) und setzt diese gleich Null und prüft wieder die gefundenen t, was dort vorliegt.

Wenn ich etwas noch genauer schreiben soll, melde Dich einfach nochmal.

Viele Grüße,
Chris

#3

Hallo Karina,
leider kann ich Ihnen bei Ihrer Aufgabe nicht weiterhelfen, da ich mich nur bis zur 10. Klasse auskenne.

Herzliche Grüsse
Susanne.

#4

Die angeführte Funktion ist wenig sinnvoll, wahrscheinlich falsch übernommen. Sie reduziert sich nämlich auf eine simple lineare Funktion A(t)= -2,41t+3.
Diese Funktion hat als minimalen Absatz einen unendlich kleine Betrag und als Maximum (bei t=0) 3.

#5

Vermutlich trägst du t (x-Achse) gegen K (y-Achse) auf.
Es handelt sich um eine e-Funktion, daher die Ableitung: e^g(x) abgeleitet ist g’(x)*e^g(x).
Damit solltest du zu A’(t)= 1,23*e^(-0,41x)-6*e^(-2x) gelangen.
Diese Ableitung überprüfst du auf Nullstellen, um Extrema zu bekommen.
A’(t)=0 --> 1,23*e^(-0,41t)= 6*e^(-2t) /ln
ln (1,23*e^(-0,41t))=ln(6*e^(-2t))

Jetzt ln Regeln beachten! Bekommst du hin! Das Ergebnis sollte 1,58 sein. Überprüfen zeigt, dass es sich um ein Minimum handelt.
Antwortsatz und a) zur Hälfte gelöst.

Das mit dem Maximum ist etwas kniffliger. Da es nur ein Extremum gibt kann man sich noch die Randstellen, also Jahresbeginn und Jahresende ansehen.
Im Intervall 0-Minimum fällt die Funktion streng monoton und im Intervall Minimum-Jahresende (12) steigt sie Monoton. Setzt man für t=0 so kommt als Wert 3 heraus. Für t=12 kommt 2,98 raus. Damit gibt es auf dem Intervall 0-12 ein Maximum bei 0. Man kann auch zeigen, dass 3e-0,41t + 3e-2t größer 0 ist.

Interpretieren… ???

Zu b)

A(t) ist deine Originalfunktion, A’(t) zeigt dir die Steigung von A(t)im Punkt t an. Ergo muss man die Extremstelle von A’(t) bestimmen und erhält somit die Wendestelle von A(t), anders gesagt die Stelle, an der A(t) maximal steigt. Das bekommst du auch hin. Ist schon spät.

Gruß Frank

#6

Hallo
Kann dir leider nicht helfen.
sorry
Voltaire