Brauche Hilfe bei einer Dreiecksungleichung

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo,
ich bin leider ein völliger Analysis-Laie und stehe nun vor folgendem Problem:
also ich weiß, dass der Abstand zwischen zwei abschlossenen, beschränkten Mengen X und Y d_{n} ist.
Weiter weiß ich, dass X eine kompakte Menge X_{1} enthält, der Maximalabstand ist hier d_{n}/3, ebenso für Y und Y_{1}.
Ich soll nun daraus folgern, dass der Abstand zwischen X_{1} und Y_{1} größer gleich d_{n}/3 ist. Bin aber verwirrt, weil ich hier ja irgendwie teilweise Informationen über die Supremumsnorm und mal welche über den ‚normalen‘ Abstand (also mit infimum) habe. Anschaulich ist ja völlig klar, dass das geht, aber wie schmeiße ich das formal zusammen?

Vielen Dank im Voraus!

2

Ups, da war falsch, also noch mal richtig:

Hallo,
ich bin leider ein völliger Analysis-Laie und stehe nun vor
folgendem Problem:
also ich weiß, dass der Abstand zwischen zwei abschlossenen,
beschränkten Mengen X und Y d_{n} ist.
Weiter weiß ich, dass X in einer kompakte Menge X_{1} enthalten ist, der
Maximalabstand für Punkte aus X und X_{1} ist hier d_{n}/3, ebenso für Y und Y_{1}.
Ich soll nun daraus folgern, dass der Abstand zwischen X_{1}
und Y_{1} größer gleich d_{n}/3 ist. Bin aber verwirrt, weil
ich hier ja irgendwie teilweise Informationen über die
Supremumsnorm und mal welche über den ‚normalen‘ Abstand (also
mit infimum) habe. Anschaulich ist ja völlig klar, dass das
geht, aber wie schmeiße ich das formal zusammen?

Vielen Dank im Voraus!

3

Hallo,

erst mal nur ein Denkanstoß, aber vielleicht reicht Dir das ja schon:

X und Y sind beschränkt und abgeschlossen. Wenn X und Y im R n sind (sind sie’s?), dann sind sie auch kompakt.
Funktionen (z.B. die Abstandsfunktion) auf kompakten Mengen nehmen ihr Maximum und Minimum an.
Es gibt also ein x in X und ein y in Y mit d(x,y)=d(X,Y).

Reicht Dir das?

Liebe Grüße
Immo

4

Hey,
ja die sind beide sogar im R^2.
Aber das Problem für mich ist gerade, dass ich über das, was ich angegeben habe, nur eine Aussage über den maximalen Abstand machen kann und nicht über den minimalen (da ich ja > d_{n}/3 haben will).
Lieben Gruß

5

Hallo!

Gut, ich könnt’s für Dich lösen, aber erst mal noch einen Denkanstoß: Was würde denn die Dreiecksungleichung für den Abstand von X und Y sagen, wenn X1 und Y1 weniger als dn/3 voneinander entfernt wären?

Vollständige Lösung unten.

Liebe Grüße
Immo

Sei immer x in X, y in Y.
Alle Aussagen, die eines Quantors bedürfen, gelten „für alle“ derartigen Elemente.

Angenommen, d(X1,X2) n/3, d.h. es gäbe x1 in X1, x2 in X2 mit d(x1,x2) n/3. Fixiere diese x1,x2.

d(x,y)\stackrel{\mathrm\Delta-Ugl}{\leq}d(x,x_1)+d(x_1,y)
\stackrel{\mathrm\Delta-Ugl}{\leq}d(x,x_1)+d(x_1,y_1)+d(y_1,y)

\stackrel{\mathrm Vorauss.}{\leq}\frac{d_n}{3}+d(x_1,y_1)+\frac{d_n}{3}
\stackrel{\mathrm Ann.}{\leq}\frac{d_n}{3}+\frac{d_n}{3}+\frac{d_n}{3}=d_n,

Widerspruch zur Voraussetzung d(X,Y)=dn.

6

Ahhhh, alles klar! Vielen Dank! :smile: