Ich habe folgende Aufgabe:
Es sei V ein K-Vektorraum und f,g:V—>V zwei Morphismen. Zeige
Ker(f)[Vereinigungszeichen]Ker(g)[Untermengenzeichen] Ker(f+g).
K soll dabei ein beliebiger Körper sein.
Ich habe keine Ahnung wie ich an die Aufgabe überhaupt auch nur rangehen soll.
Irgendwie frustrierend…
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe:
Es sei V ein K-Vektorraum und f,g:V—>V zwei Morphismen.
ZeigeKer(f)[Vereinigungszeichen]Ker(g)[Untermengenzeichen]
Ker(f+g).
Kein Wunder, kannst Du diese Behauptung nicht beweisen. Auch ich kann es nicht, denn sie ist schlichtwegs falsch.
Nehmen wir als Körper R (reelle Zahlen) und V=RxR. Definieren wir f:V->V: (x,y)->(x,0), g:V->V:frowning:x,y)->(0,y). Dann ist f+g:V->V:frowning:x,y)->(x,y), d.h. die Identität. Es gilt
ker(f)={0}xR, ker(g)=Rx{0}, ker(f+g)={(0,0)}. Offenichtlich gilt die Inklusion nicht, die Du geschrieben hattest. Meintest Du etwa ker(f)[Durchschnittszeichen]ker(g)[Untermengenzeichen]ker(f+g)?
Gruss Urs
Meintest Du etwa
ker(f)[Durchschnittszeichen]ker(g)[Untermengenzeichen]ker(f+g)?Gruss Urs
Falls ja dann ist der Beweis ganz einfach.
ker(f) = {x aus V | f(x)=0}
ker(g) = {x aus V | g(x)=0}
ker(f) geschnitten ker(g) = {x aus V | f(x)=0 und g(x)=0}
Sei x aus ker(f) geschnitten ker(g).
=> f(x)=0 und g(x)=0
=> (f+g)(x) = f(x)+g(x) = 0+0 = 0
=> x ist Element von ker(f+g)
Da dies für alle x aus ker(f) geschnitten ker(g) gilt ist
ker(f) geschnitten ker(g) eine Teilmenge von ker(f+g).
Frohe Weihnachten !
hendrik
Moment, moment. Jetzt bin ich verwirrt. Was ist das „umgedrehte U“ für ein Zeichen?
Moment, moment. Jetzt bin ich verwirrt. Was ist das
„umgedrehte U“ für ein Zeichen?
Ein „umgedrehtes U“ ist das Durchschnittszeichen, d.h. wir nehmen die Elemente, welche in beiden Mengen liegen.
Gruss Urs
Verd****, dann habe ich das wohl durcheinander gebracht.
Auf jeden Fall danke für die Hilfe!