Hi,
ich habe 2 Polynome und will davon die Nullstellen finden. Das Problem ist, dass ich sie OHNE Taschenrechner irgendwie „erkennen“ muss. Beide Polynome kamen in einer mündlichen Prüfung zur „Einführung in die Algebra“ drann und da kann man ja schlecht seinen Taschenrechner auspacken und die Nullstellen berechnen lassen. Daher denke ich, dass die Nullstellen eigentlich trivial sind, aber im Moment habe ich da echt ein Brett vor dem Kopf
Hm, weiss ich auch nicht gerade. Normalerweise kann man bei Polynomen dritten Grades die Nullstellen ganz gut raten, wenn man die Teiler der letzten Zahl durchprobiert. Das ist hier aber nicht sehr ergiebig…
Polynom 2: f(x)=x^6-2
x^6 -2 = 0
x^6 = 2
x = + - 2^(1/6)
Im Komplexen alle 6 Wurzeln von 2.
das ist ein reduziertes (= kein x²-Glied enthaltendes) kubisches Polynom. Die Nullstellen solcher Polynome können algebraisch mit den Formeln von Cardano bestimmt werden (http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln).
Das allgemeine Problem lautet
y³ + p y + q = 0
(Jedes kubische Polynom a x³ + b x² + c x + d kann durch Division mit a und der Substitution y = x + b/(3 a) in die reduzierte Form y³ + p y + q überführt werden.)
In Deinem Fall ist p = q = 1. Daraus resultiert die sogenannte Diskriminante zu D = 4 p³ + 27 q² = 31. Wie die Lösungsmenge im Einzelfall aussieht, d. h. wieviele Lösungen es gibt und wieviele davon reell bzw. komplex sind, hängt davon ab, ob D > 0, D = 0 oder D 0; damit hat Dein Polynom genau eine reelle Nullstelle, und zwar
