Hallo Maya,
der beste Weg ist immer noch, zu Ihrem direkten Ansprechpartner des Sozialamtes zu gehen und Ihr Anliegen vorzutragen. Allerdings weiß ich nicht, wie die Richtlinien heute sind und in wieweit das übernommen wird. Persönlich und mit Dringlichkeitsbitte ist besser, denn: Papier ist geduldig!
Ansonsten reicht eine kurze und bündige Formulierung wie Z.B.:
Sehr geehrte Damen und Herren, (Datum)
hiermit beantrage ich eine Kostenübernahme für ein Bett und für einen Fernseher für meinen privaten Gebrauch. Beide Dinge sind veraltet und kaputt.
Mit freundlichem Gruß,
(Ihr Name)
Ich hoffe, ich konnte helfen!
Gruß,
Coolette