Bruchrechnung, Lineares Gleichungssystem

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,
würdet ihr mir bitte bei einer Rechnung helfen?
Es geht um das rechnen mit Brüchen und um das Lineare Gleichungssystem.

Folgende Aufgabe (und meine Rechnung):

Aufgabe > \begin{cases} 3x + 4y = 5 \ 7x - 2y =3 \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{5 - 4y}{3} \ 7x - 2y = 3 \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{5 - 4y}{3} \ 7 (\frac{5-4y}{3}) - 2y = 3 \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{5 - 4y}{3} \ \frac{35}{3} - \frac{28}{3}y - \frac{2}{1}y = 3 \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{5 - 4y}{3} \ - \frac{34}{3}y = 3 - \frac {35}{3} \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{5 - 4y}{3} \ y = \frac{3}{1} - \frac{1}{3} \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{5 - 4y}{3} \ y = \frac{8}{3} \end{cases}

\begin{cases} x = (\frac{5 - 4}{3}) \cdot \frac{8}{3} \ y = \frac{8}{3} \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{3} \ y = \frac{8}{3} \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{8}{9} \ y = \frac{8}{3} \end{cases}

Also zu erst habe ich nach y aufgelöst und dann weitergemacht, könnt ihr schauen wo ich den Fehler gemacht habe? Wenn ich die Werte einsetze bekomme ich keine wahre Aussage, würdet ihr genau so rechnen oder kennt ihr einen schnelleren Weg?

Hier die Rechnung in der ich die Werte einsetze:

* \begin{cases} 3 \cdot \frac{8}{9} + 4 \cdot \frac{8}{3} = 5 \ 7 \cdot \frac{8}{9} + 2 \cdot \frac{8}{3} = 3 \end{cases}

\begin{cases} \frac{24}{9} + \frac{32}{3} = 5 \ \frac{56}{9} + \frac{16}{3} = 3 \end{cases}

\begin{cases} \frac{120}{9} = 5 \ \frac{72}{3} = 3 \end{cases}

Man sieht es ist keine wahre Aussage,
Danke für jede Antwort.

2

moin;

offensichtlich kennst du das Additionsverfahren noch nicht. Dies besagt, dass du eine Gleichung zu einer anderen addieren kannst, das Ergebnis ändert sich dadurch nicht (und selbstverständlich gelten auch alle Ursprungsgleichungen noch). Siehe dazu auch http://de.wikipedia.org/wiki/Additionsverfahren_(Mat… .

Doch zunächst mal bei deiner Rechnung: hier hast du bei

\begin{cases} x = \frac{5 - 4y}{3} \ y = \frac{3}{1} - \frac{1}{3} \end{cases}

einen Fehler gemacht.
Ich zumindest komme auf -34y=-26 y=26/34=13/17.

Mit dem Additionsverfahren lande ich bei 17x=11 x=11/17 und demzufolge ebenfalls y=52/68=13/17.

Die Probe in der zweiten Gleichung führt auf 77/17-26/17=3 51/17=3, also eine wahre Aussage.

mfG

3

Hallo,
Danke für die Antwort.

ich habe jetzt Mit dem Additionsverfahren gerechnet und den Wert für y bekommen:

y = \frac{13}{17}

Auch der Wert für x stimmt von uns beiden überein, den habe ich ebenfalls über das Adittionsverfahren bekommen.

Doch mit dem Einsetzungsverfahren scheitere ich. Ich bekomme zwar den genauen Wert für y, doch bei x ist er falsch.

Ich glaube auch zu wissen wo genau, und zwar bei:

x = \frac{5-4y}{3}

x sollte dieses Ergebniss haben:

x = \frac{11}{17}

Das habe ich mit dem Additionsverfahren errechnet, doch bei dem Einsetzungsverfahren bekomme ich:

x = \frac{13}{51}

Was natürlich zu keiner wahren Aussage führt.

Hier mein Rechenweg:

x = \frac{5-4y}{3}

x = (\frac{5}{3} - \frac{4}{3}) \cdot \frac{13}{17}

x = \frac{1}{3} \cdot \frac{13}{17}

x = \frac{13}{51}

Was mache ich hier falsch?
Mfg. Carboneum.

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moin;

deine Gleichung ist richtig, dein Fehler liegt beim Einsetzen:

x = (\frac{5}{3} - \frac{4}{3}) \cdot \frac{13}{17}

wenn man es genau nimmt, rechnest du hier (5-4)/3*y=(5y-4y)/3, was selbstverständlich nicht mit deiner Gleichung übereinstimmt. Probiere doch, genau so einzusetzen, wie in deiner Gleichung beschrieben:

x=\frac{5-4y}{3}=\frac{5-4\left(\frac{13}{17}\right)}{3}=\frac{\frac{85}{17}-\frac{52}{17}}{3}=\frac{\frac{33}{17}}{3}=\frac{11}{17}

mfG

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Vielen Dank, jetzt klappt es ja.
Mfg. Carboneum.