Bürgschaft statt Mietsicherheit

Wenn jemand für seinen Vater eine Bürgschaft beim Vermieter unterschreibt, da der Vater kein Geld für die Mietsicherheit hat, und der Todesfall eintritt, haftet dann der Bürgschaft alleine für die dann noch fälligen 3 Monatsmieten, oder betreffen die Mietkosten dann trotz der Bürgschaft alle Erben ?

Hallo,

da ist die Frage zu stellen, was im Bürgschaftsvertrag steht, endet die Bürgschaft mit dem Tode?
M.E. geht die Forderung in den Nachlass, also Erbschaft über, sofern es nicht einen Mitmieter für die Wohnung gibt.

lG