C = -(1/4)x^4 - (1/2)x²

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
ich soll die gleichung C = -(1/4)x^4 - (1/2)x² nach x auflösen. Allerdings weis ich nicht wie ich hier vorgehen soll :frowning:. Geht das überhaupt ?
Würde mich über Lösungen freuen :smile:

mfg
chillamuffin

#2
  1. Substitution y = x²
  2. p-q-Formel anwenden
  3. Rücksubstitution (beide Vorzeichen der Ergebnisse möglich)

mfg,
Ché Netzer

#3

Ehm was bedeutet Substitution ? ^^
Könntest du das bitte vorrechnen ? :smile:

#4

Also ich habe mal versucht schritt 1 + 2 anzuwenden:
Ich habe also:
0 = -(1/4)x^2 - (1/2)x
0 = (1/4)x^2 + (1/2)x

und dann pq formel. da hab ich:
einmal x=0 und x=-2

un jetzt mein problem ^^
wie geht es weiter ?

#5

Substitution heisst du ersetzt in diesem Fall x^2 einfach durch y. Machen wir das mal:

C = -(1/4)x^4 - (1/2)x^2

also x^2 wird zu y und x^4 wird wegen x^4 = (x^2)^2 zu y^2

C = -(1/4)y^2 - (1/2)y

Das kannst du ja mit der pq-Formel nach y umstellen (auf Anzahl der Lösungen achten). Dann musst du y wieder durch x^2 ersetzen und damit du dann auch x = … dastehen hast musst du auf beiden Seiten noch die Wurzel ziehen.

MfG IGnow

#6

Also ich habe mal versucht schritt 1 + 2 anzuwenden:
Ich habe also:
0 = -(1/4)x^2 - (1/2)x
0 = (1/4)x^2 + (1/2)x

und dann pq formel. da hab ich:
einmal x=0 und x=-2

ich meine natürlich:

0 = -(1/4)y^2 - (1/2)y
0 = (1/4)y^2 + (1/2)y

und dann pq formel. da hab ich:
einmal y=0 und y=-2

#7

Oh das kanns ja nich sein ^^
Wie soll ich denn bitte mit der pq formel auf y kommen ?

#8

Mal an einem anderen Beispiel, um das nicht direkt vorzurechnen:
c = -(x^4)/3 + x²/5
c = -y²/3 + y/5
0 = -y²/3 + y/5 - c
0 = y²/3 - y/5 + c
0 = y² - 3y/5 + 3c
y1 = 3/10 + √(9/25 - 3c)
y2 = 3/10 - √(9/25 - 3c)
Da x² = y ergibt sich für x:
x1 = √(y1)
x2 = -√(y2)
x3 = √(y3)
x4 = -√(y4)

Bei deiner Aufgabe hast du aber natürlich andere Faktoren.

mfg,
Ché Netzer

#9

y1 = 3/10 + √(9/25 - 3c)
y2 = 3/10 - √(9/25 - 3c)

müsste das nicht
y1 = 3/10 + √(9/100 - 3c)
y2 = 3/10 - √(9/100 - 3c)

heißen ?
wegen (p/2)² in der wurzel.

#10

Öhm…
Ja, war aber natürlich nur ein Test (!) :wink:

mfg,
Ché Netzer

#11

Wenn du mit Substitution nix anfangen kannst, bleibt immernoch der Weg über quadratische Ergänzung. Ziel ist dabei eine binomische Formel (a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.
C=-(1/4)x^4 - (1/2)x²-C

aus -(1/4)x^4 (entspricht a^2) folgt a=1/2 x^2
aus - (1/2)x² (entspricht 2ab) folgt dann b=1/2
und damit b^2=1/4

C=[-(1/4)x^4 - (1/2)x² + 1/4] - 1/4

Die eckigen Klammern passen nun zur binomischen Formel, und daher folgt
C + 1/4 = (1/2 x^2 - 1/2)^2

Jetzt kannst du die Wurzel ziehen, und schon hast du das Problem auf eine quadratische Gleichung reduziert (hoffe, ich hab mich auf die schnelle nirgends verrechnet).

#12

Hossa :smile:

-\frac{1}{4},x^4-\frac{1}{2},x^2=C\quad\left|,\cdot(-4)\right.

x^4+2,x^2=-4C\quad\left|,+1\right.

x^4+2,x^2+1=1-4C\quad\left|,\text{nutze 1. binomische Formel}\right.

\left(x^2+1\right)^2=1-4C

\text{Falls } 1-4C\ge0 \text{ bzw. } C\le\frac{1}{4} \text{ kann man die Wurzel ziehen:}

x^2+1=\pm\sqrt{1-4C}\quad\left|,-1\right.

x^2=\pm\sqrt{1-4C}-1

Die rechte Seite kann nur dann größer oder gleich 0 sein, wenn die Wurzel ein positives Vorzeichen hat. Außerdem muss die Wurzel mindestens den Wert 1 liefern, und dafür muss C kleiner oder gleich 0 sein. Also:

x=\pm\sqrt{\sqrt{1-4C}-1}\quad\text{falls}\quad C\le0

Für C>0 gibt es keine reelle Lösung der Gleichung.

Viele Grüße

Hasenfuß