Cantormenge

Wissenschaft Physik
#1

Hallo allerseits,

ich stehe hier vor der Frage nach dem mittleren Abstand x zweier beliebiger Punkte in der Cantormenge. Unter Ausnutzung der Selbstähnlichkeit komme ich auf x = 1/2 * ( x/3 + (x/3+2/3)) und damit auf x = 1/2, aber das stimmt wohl nicht. Begründung für meinen Ansatz: Ein beliebig gewählter Punkt liegt mit 50% Wahrscheinlichkeit im ersten oder dritten Drittel. Zwei Punkte liegen also mit 50% Wahrscheinlichkeit im selben Drittel (Abstand x/3) oder in unterschiedlichen Dritteln (Abstand x/3 + 2/3).

Kann mich mal jemand mit der Nase auf meinen Fehler stupsen. Danke.

#2

Hallo Peter,

wieso sollen 2 Punkte im gleichen Drittel den Abstand x/3 haben? dafür gilt doch eher rekursiv die gleiche Betrachtung wie für das ganze Intervall?

Gruss Reinhard

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#3

Hallo Reinhard,

x/3 habe ich wegen der Selbstähnlichkeit angesetzt. Eines der Drittel ist doch eine um den Faktor 3 „gestauchte Kopie“ der gesamten Menge.

#4

Hallo Reinhard,

x/3 habe ich wegen der Selbstähnlichkeit angesetzt. Eines der
Drittel ist doch eine um den Faktor 3 „gestauchte Kopie“ der
gesamten Menge.

Hallo Peter,

das habe ich nicht richtig gelesen - deine Selbstähnlichkeit meinte ich mit rekursiv.

Intuitiv ist meine Antwort 1/3: ich denke mir die Punkte eines beliebigen Intervalls als in der Mitte konzentriert, weil sie nach links und rechts gleich verteilt sind, so dass sich ihre Lage von ausserhalb des Intervalls gemessen im Mittel ausgleicht - das gilt obwohl sich in der Mitte garkeine Punkte befinden.

Bleibt nur die grössten Intervalle von „aussen“ zu betrachten - der Abstand (zu den Mitten) ist entweder 0 oder 2/3, mit je 50% Wahrscheinlichkeit.

Für einen richtigen Beweis müsste man wohl noch etwas dran arbeiten.

Gruss Reinhard

#5

Hab’s jetzt (mit empirischer Hilfe) raus:

Wenn die Punkte in verschiedenen Dritteln sind, haben sie den mittleren Abstand 2/3 (wie Du annahmst). Sind sie im selben Drittel, greift die Selbstähnlichkeit, also

0,5 * ( x/3 + 2/3) = x

#6

Hallo Peter,

ist mir kurze Zeit später auch klar geworden, dass 0 für 2 Punkte im gleichen Drittel nicht stimmt.

Gruss Reinhard

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