Cantors 2. Diagonalargument

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Tag,

ich habe Probleme, Cantors 2. Diagonalargument zu akzeptieren.
Ich habe dazu folgende Zwischenfrage: Zu welcher Menge gehoert eine Zahl, die man in dezimalen Ziffern wie folgt schreibt
… a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 , 0 mit ai=dezimalen Ziffern
und dann mit i als der Anzahl an Ziffern gegen unendlich geht?

Ich wuerde das a priori dreist als natuerliche Zahl ansehen, womit ich Cantors Argument dann auf diese Zahl anwende und auch immer aus der Menge abgezaehlter Elemente hinauskaeme (???)

Ok, ich kann mir auch vorstellen, die oben definierte Zahl waere stattdessen eine reelle Zahl. Damit verschwindet mein Problem immer ncoh nicht. Ich versuche jetzt mal die Natuerlichen Zahlen abzuzaehlen analog Cantor und kreiere mir eine Liste:

N1=1
N2=2
…
wobei {Ni} die bereits abgezaehlten Elemente sind

Nun gebe ich die Vorschrift N+=Max({Ni})+1 und komme damit auch immer auf ein noch nicht abgezaehltes Element. Also sind die Natuerlichen Zahlen auch ueberabzaehlbar?

Danke fuer eure Hilfe,

Gruesse, Wizzy

#2

reelle Zahl.

‚irrationale Zahl‘ meinte ich :smile:

#3

Hi,

Deine Diagonalkonstruktion würde ein etwas mit unendlich vielen Dezimalstellen vor dem Komma ergeben, alle natürlichen Zahlen haben aber endlich viele Stellen.

Vergleichbar wäre das, wenn Du nur die endlichen Dezimalbrüche betrachtest. Davon gibt es auch nur abzählbar viele, und das Diagonalargument würde einen unendlich langen Dezimalbruch produzieren.

Gruß Lutz

#4

Danke Lutz fuer deine Antwort.

Leider habe ich damit Verstaendnisprobleme. Wenn alle natuerliche Zahlen in meiner Abzaehl-Liste endliche Stellenzahl haben, sollte es doch moeglich sein, diejenige zu bestimmen die die hoechste Stellenzahl s_max hat. Dann addiere ich eine Ziffer a_i=max+1 und rufe damit jeweils eine natuerliche Zahl aus die noch nicht abgezaehlt wurde. Wo scheitert die Analogie zu Cantor?

Gruesse, Wizzy

#5

Hallo,

so ganz sicher bin ich mir nicht, ob das der entscheidende Unterschied ist, aber bei Cantor sind es schon unendlich viele Zahlen im Intervall (0,1) bzw. in jedem noch so kleinen Intervall.

Gruß
Olaf

#6

Hi Olaf,

ist bei den abzaehlbaren rationalen Zahlen aber auch so.

Gruesse, Wizzy

#7

Jede einzelne natürliche Zahl hat endlich viele Stellen. Aber 10^n hat n+1 Stellen für jedes n, also gibt es keine größte Stellenzahl.

Gruß Lutz

#8

Hallo Lutz,

danke, ich glaube ich verstehe das jetzt mehr. Der Knackpunkt ist, dass die Liste unendlich lang wird, und dann kann ich einfach kein s_max mehr angeben, korrekt? Folglich funktioniert meine Analogie nicht.

Gruesse, Wizzy

#9

Trotzdem bleiben bei mir noch leise Zweifel:
Um Cantors Argument anzuwenden, muss ich ja unendlich viele Operationen machen, um ein aus meiner unendlischen schon abgezaehlten Menge herauszukommen. Wer sagt mir denn, dass ich mit unendlich vielen Operationen nicht auch s_max durch Umordnung aus einer unendlich grossen Menge heraussieben kann und dann mit +1 ebenfalls herauskomme? Gibt es da wirklich einen prinzipiellen Unterschied? *zweifel*

#10

Guten Abend,

nochmal ne Idee…

Cantor sagt (bei den reellen Zahlen): Du kannst jede beliebige Bildungsvorschrift für eine Folge nehmen. Aus allen Zahlen dieser Folge kannst Du nun eine weitere Zahl konstruieren, die noch nicht in der Folge enthalten ist.

Und das geht bei Deiner Vorschrift mit den natürlichen Zahlen eben nicht. Du kannst aus allen natürlichen Zahlen nicht eine neue bilden, auch die wäre ja schon drin in Deiner ursprünglichen Liste. OK?

Gruß
Olaf

#11

Hi,

Z:=… a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 , 0 mit ai=dezimalen Ziffern

und dann mit i als der Anzahl an Ziffern gegen unendlich
geht?

Ich wuerde das a priori dreist als natuerliche Zahl ansehen,
womit ich Cantors Argument dann auf diese Zahl anwende und
auch immer aus der Menge abgezaehlter Elemente hinauskaeme
(???)

richtig, es ist eine natürliche Zahl (denn da die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, kann es auch beliebig große Zahlen geben), aber es ist keine Folge von Zahlen aus |N, sondern nur aus N={0,…,9}. schlußendlich zeigst du damit „nur“, dass |N überabzählbar gegenüber N ist.

Ich versuche jetzt mal die
Natuerlichen Zahlen abzuzaehlen analog Cantor und kreiere mir
eine Liste:

N1=1

N2=2

…

wobei {Ni} die bereits abgezaehlten Elemente sind

Nun gebe ich die Vorschrift N+=Max({Ni})+1 und komme damit
auch immer auf ein noch nicht abgezaehltes Element. Also sind
die Natuerlichen Zahlen auch ueberabzaehlbar?

Nein. Alleine schon weil die identität eine Bijektion von |N nach|N ist ud damit die abzählbarkeit in sich selbst gegeben ist, betrachtest du immer nur einen Teil der Folge, was nicht der Konstruktionsvorschorift von Cantor entspricht, die für alle Folgenglieder gilt (hier wird die neue Zahl erst durch den Grenzwert der Folge erreicht).

Viele Grüße,
JPL