Cauchy folge epsilon wählen

Wissenschaft Mathematik
#1

ich habe viele beweise über cauchy gelesen und ich merke daß man nach der abschätzung der abstand |(a)n -(a)m|
immer ein epsilon wählt um damit findet man heraus ob die folge eine cauchy folge ist
meine frage ist , ob man epsilon beliebig wählen kann ?
ein beispiel

(a)n= summe (k = 1 bis n)von 1/(k)^2
zeigen sie daß (a)n1 cauchy folge ist

hier wurde nach der abschätzung gewählt :
für alle m,n > N , epsilon > 2/N bla bla…
warum genau epsilon >2/N ? warum nicht zum beispiel
epsilon > N ?

sorry wegen mein deutsch , ist sehr begrenzt
ich hoffe ihr versteht was ich meine

#2

ich habe viele beweise über cauchy gelesen und ich merke daß
man nach der abschätzung der abstand |(a)n -(a)m|
immer ein epsilon wählt um damit findet man heraus ob die
folge eine cauchy folge ist

Hi serene,

die Definition einer Cauchyfolge ist sinngemäß folgende.
Eine Folge ist eine Cauchyfolge, wenn es für jedes ε>0 einen Index n0 gibt, sodass für alle m>n0 und n>n0 gilt |an-am| N , epsilon > 2/N bla bla…

warum genau epsilon >2/N ? warum nicht zum beispiel
epsilon > N ?

Da müsstest du schon etwas genauer beschreiben wie die Aufgabe gelöst wurde. ε>N ist allerdings recht uninteressant, interessant ist was passiert wenn N gegen unendlich strebt und ε gegen 0.

Gruß

hendrik

#3

Hi,

wie schon geschrieben, eps kann nicht nur, sondern muss als beliebig, und damit auch beliebig klein, betrachtet werden. eps>N geht also gar nicht, da die interessanten eps alle kleiner als 1 sind.

Eine andere Variante des Cauchy-Kriteriums besagt, dass es zu jedem eps>0 einen Index N gibt, so dass alle nachfolgenden Folgeglieder in der eps-Kugel um a(N) verbleiben. Um zum üblichen Kriterium überzugehen, nimmt man das eps aus diesem und wendet das modifizierte Kriterium auf eps/2 an, um das N zu finden, was dann auch das N für das originale Kriterium ist. Der Rest ist die Dreiecksungleichung.

In Deinem Beweis wird offensichtlich das modifizierte Kriterium angewendet, indem der Reihenrest ab Glied N oder (N+1) gegen 1/N abgeschätzt wird. Da die Partialsummen monoton wachsen, folgt daraus sofort das modifizierte Kriterium, wobei N>1/eps gewählt werden muss. eps ist als von außen vorgegeben zu betrachten, N ist zu finden.

Beim Übergang zum Originalkriterium muss dann also N>1/(eps/2)=2/eps sein, oder umgestellt eben eps>2/N.

Gruß Lutz

#4

theoretisch hast du eine folge die konvergiert und gibst diese deinem „erzfeind“. er denkt sich: okay, ich mache es ihm schwerer wenn mein epsilon sehr klein ist. das heißt dass epsilon ist beliebig klein, wird aber garnicht von dir gegeben sondern von jemandem der sich für die genauigkeit intressiert, dein erzfeind, meinetwegen der professor.

dann schaust du dir sein epsilon an und teilst epsilon durch 2. damit ist es noch kleiner als sein vorgegebenes. wenn die folge konvergiert muss dein wert aber immernoch in der folge liegen. Eps /2 ist definiert als delta