Cauchy-Kriterium zum Beweis eines Grenzwertes?

Wissenschaft Mathematik
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Dies ist keine Hausaufgabenfrage (ich bin ü50), sondern eine Verständnisfrage:

Wie wendet man das Cauchy-Kriterium in der Praxis zum Beweis (oder dem nicht-Beweis) eines Grenzwertes bei Funktionen (nicht bei Folgen oder Reihen) praktisch an?

Kann das mal jemand mit einem/mehreren verständlichen Beispiel(en) erklären; bzw. gibt es einen Link zu verständlichen(!) Erklärungen und Beispielen?

Meine Tochter muss diese Art von Beweis demnächst drauf haben. Ich verstehe zwar, was Cauchy in etwa meint, kann es aber nicht in Form von einem Beweis anwenden.

Gruß JK

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Wie wendet man das Cauchy-Kriterium in der Praxis zum Beweis
(oder dem nicht-Beweis) eines Grenzwertes bei Funktionen
(nicht bei Folgen oder Reihen) praktisch an?

Hallo JK,

das Cauchy-Kriterium ist eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Folge (oder auch Reihe) in metrischen Räumen.
Mit der Konvergenz von Funktionen hat das erstmal nichts zu tun.
Man kann allerdings auch Funktionenräume metrisieren und dann das Cauchy-Kriterium auf Funktionenfolgen anwenden, meinst du vielleicht das ?

hendrik

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Es soll damit bewiesen/gezeigt werden, dass eine Funktion, z. B. an einer Stelle

  • wirklich existiert
  • oder nur eine Lücke hat
  • oder einen Grenzwert hat
  • oder ein Maximum/Minimum hat

Gruß JK

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Es soll damit bewiesen/gezeigt werden, dass eine Funktion, z.
B. an einer Stelle

  • wirklich existiert
  • oder nur eine Lücke hat
  • oder einen Grenzwert hat
  • oder ein Maximum/Minimum hat

Ich bin mir immer noch nicht sicher ob ich weiß was du meinst, aber ich versuche mal ein Beispiel.
Nehmen wir die Funktion

f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}

Indem man die Nullstellen des Nenners ausrechnet erhält man den Definitionsbereich

\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash{-1,-2}

Man will jetzt wissen wie sich die Funktion in der Nähe von x=-1 verhält. Dazu kann man z.B. untersuchen was die Funktion mit einer Folge macht die gegen -1 konvergiert. Nehmen wir also die Urbildfolge xn=-1+1/n. Diese Folge konvergiert von oben gegen -1. Was aber macht f damit ?

f(x_n)=\frac{\left(-1+\frac{1}{n}\right)^2-1}{\left(-1+\frac{1}{n}\right)^2+3\left(-1+\frac{1}{n}\right)+2}=\ldots =\frac{1-2n}{1+n}

Die Frage ist ob diese Bildfolge konvergiert. Dazu kann man untersuchen ob sie das Cauchy-Kriterium erfüllt.

\frac{1-2m}{1+m}-\frac{1-2n}{1+n}=\frac{3(n-m)}{(1+m)(1+n)}\leq\frac{3(n-m)}{nm}=\frac{3}{m}-\frac{3}{n}

Für n→∞ und m→∞ strebt das gegen 0, was bedeutet, dass die Bildfolge das Cauchy-Kriterium erfüllt und somit konvergiert. D.h. f besitzt bei x=-1 einen rechtsseitigen Grenzwert. Für den linksseitigen Grenzwert könnte man als Urbildfolge xn=-1-1/n nehmen.

Geht das in die Richtung von dem was du suchst ?

Gruß

hendrik

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Ich bin mir immer noch nicht sicher ob ich weiß was du meinst,
aber ich versuche mal ein Beispiel.
Nehmen wir die Funktion …

ja prima für etwa solche Fälle soll es genutzt werden.

Am exaktesten treffen es die Seiten 58 bis 59 in Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler von Thomas Holey, Armin Wiedemann
Hierkann man sie sogar sehen:

http://books.google.de/books?id=DAwfMwJUBiQC&printse…
Abschnitt 2.7.2

Aber wie erklärt man das sich und anderen wirklich verständlich, einfach und so, dass es sich auf andere Fälle übertragen lässt?
Bin Ingenieur und kein Mathematiker. :wink:
Es macht einfach nicht Klick bei mir. *seufz*

Gruß aus Südhessen
Jochen

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Hi Jochen,

http://books.google.de/books?id=DAwfMwJUBiQC&printse…
Abschnitt 2.7.2

Wesentlich bkannter ist das unter dem Begriff der Stetigkeit einer Funktion, bei der Def. im Buch handelt es sich genaugenommen um das Delta-Epsilon-Kriterium (z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit).
Damit wirst du mehr Erfolg haben, etwas verständliches zu finden.

Grüße,
JPL