Hi,
Ich muss zugeben ich habe grade ein totales Verstaendnisproblem… Ich hab eine Aufgabe wo ich fuer a_n=(Summe von k=1 bis n) ((-1)^(k+1))/k zeigen soll dass die Folge konvergiert. Ich hab aber keine ahnung wie ich das machen soll, da ich auch noch nicht so ganz verstehe wie ich das cauchy-Kriterium ueberhaupt benutzen kann. Ich weiß dass es ein epsilon gibt das groesser als der Betrag von a_m-a_n gibt fuer alle n_0 aber so richtig etwas mit anfangen kann ich damit leider nicht… Woher weiss ich denn welches epsilon? Und wie bekommt man damit einen Grenzwert bzw ob die Folge konvergiert?
Lg
Sayuri
Hallo Sayuri,
musst Du diese Aufgabe mit Cauchyfolgen lösen? Mit Reihen geht das schnell.
Viele Grüße,
Heike
Hi,
Also das weiß ich nicht genau, aber ich nehm es an. In der Aufgabe hieß es, dass man zeigen soll dass das konvergiert, mehr nicht, aber die Überschrift war eben cauchy-kriterium. Wie ginge das denn mit Reihen?
Lg
Sayuri
Der Grenzwert für n gegen unendlich von an ist die Reihe von k=1 bis unendlich von (-1)**(k+1)/k.
-
Die Reihe von (-1)**(k+1)/k ist alternierend, ist also immer abwechselnd postitiv und negativ.
-
Der Betrag der Reihenglieder ist 1/k. 1/k geht gegen 0.
-
Der Betrag der Reihenglieder (1/k) ist streng monoton fallend, da 1/k immer kleiner ist als 1/(k+1).
Mit 1) bis 3) ist nach dem Leibniz-Kriterium die Reihe konvergent, also auch die Folge.
Viele Grüße,
Heike
Hi,
Also das weiß ich nicht genau, aber ich nehm es an. In der
Aufgabe hieß es, dass man zeigen soll dass das konvergiert,
mehr nicht, aber die Überschrift war eben cauchy-kriterium.
Wie ginge das denn mit Reihen?
Lg
Sayuri
Das Ist wirklich viel einfacher Oder zumindest schneller! Danke schoen^^ ich werd einfach mal fragen ob wir das auch so machen duerfen, die Variante versteh ich:wink:.
Lg
Sayuri
-))
Danke für das Danke!
Hey,
meine Uni-Zeit ist doch schon länger her, wie ich grad feststelle…
Und leider hab ich auch keine Zeit, mich im Moment in das Thema einzufuchsen wieder.
SORRY, ich hoffe, jemand anderes kann Dir hier weiterhelfen.
Fabian
Hi,
Keine sorge, Ist doch kein problem. Trotzdem danke fuer Deine antwort^^
Lg
Sayuri
Sehr geehrter Frau Sayuri,
keine Panik.
Die Aufgabe lautet zu zeigen, dass die Folge konvergiert.
Die Aufgabe lautet insbesondere nicht, den Grenzwert zu berechnen, und sie lautet auch nicht, das Cauchy-Kriterium zu beweisen, denn das können Sie als gegeben voraussetzen.
Ferner wissen Sie schon, dass die Folge konvergiert, wenn das Cauchy-Kriterium erfüllt ist. Der Witz beim Cauchy-Kriterium besteht ja gerade darin, dass man die Konvergenz beweisen kann, ohne den Grenzwert zu kennen.
Es ist damit zu zeigen, dass die Folge das Cauchy-Kriterium erfüllt.
Sie machen nun einen kleinen Denkfehler bei der Anwendung des Kriteriums. Es heißt darin nämlich nicht „es gibt ein Epsilon größer als 0“, sondern es heißt „für alle Epsilon größer 0 gibt es ein n0, so dass gilt: |a_n-a_m|n0 und m>n.“
Das bedeutet für die Praxis: Sie geben ein n0 in Abhängigkeit von Epsilon an und beweisen |an-am|n0 und m>n.
Tipp für die konkrete Aufgabe: Versuchen Sie doch mal für n0 die kleinste natürliche Zahl, die größer ist als 1/Epsilon.
Noch ein Tipp: Veranschaulichen Sie sich doch mal die Reihe a_n=(Summe von k=1 bis n)((-1)^(k+1))/k, indem Sie die Beträge der Summanden auf einem Zahlenstrahl markieren, also 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, usw., und dann einen positiven mit dem folgenden negativen Summanden durch einen Strich verbinden. Die Länge dieser Linienstücke ist nämlich 1/k - 1/(k+1) (k ungerade), und die Reihe a_n ist die Summe dieser Linienstücke. Offensichtlich passen alle Linienstücke, hintereinander gelegt, zwischen 1 und 0, d.h., die Reihe ist beschränkt.
Wenn Sie die Linienstücke in Richtung auf den Nullpunkt zusammenschieben, dann sehen Sie bereits den Ansatz für die Lösung Ihrer Aufgabe, den Sie jetzt „nur“ noch in eine mathematische Sprache übersetzen müssen.
Es juckt mich in den Fingern, Ihnen das vorzumachen, aber dann würde ja der Zweck der Übungsaufgabe verloren gehen. Noch ein Tipp: Wenn Sie Ihre Aufgabe dahingehend verallgemeinern, dass die Beträge der Summanden eine monoton fallende Nullfolge darstellen, die alternierend das Vorzeichen wechselt, dann beweisen Sie ganz nebenbei das Leibnitzkriterium für Reihen. Googeln Sie doch mal danach.
Ich hoffe, Ihnen auf die Sprünge geholfen zu haben. Sollten Sie noch eine Frage haben oder eine Meinung zu Ihrem Beweis einholen wollen, dann melden Sie sich ruhig noch einmal.
Mit freundlichen Grüßen
Thomas Klingbeil
Das Cauchy Wurzelkriterium besagt, dass wenn die n-te Wurzel aus dem Glied a_n kleiner als der Wert a_n unendlich.
Ich werde diese Version noch untersuchen.
Walter
Hi,
sorry aber ich kann dir bei deinem Problem leider überhaupt nicht helfen.
Lg
Vorweg erstmal ein ganz großes Dankeschoen fuer die schnelleund vokalem ausführliche antwort^^! ich hab es mal versucht rauszubekommen, bin aber leider an einer Stelle haenden geblieben… Ich hab fuer n_0 mal 1 eingesetzt weil das ja diekleinste natuerliche Zahl ist die groesser ist als 1/epsilon, richtig? Und das hab ich bei |a_n-a_m| eingesetzt. Da kam dann ja |1-am|
Sehr geehrte Frau Sayuri,
Ihre Aufgabe ist eigentlich für zwei Dinge sehr geeignet:
- Als Anwendung des Leibnizkriteriums.
- Als Motivation zum Beweis des Leibnizkriteriums mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums.
Zu Ihrer E-Mail:
1 ist nicht unbedingt die kleinste natürliche Zahl, die größer ist als 1/Epsilon. Das wäre nur der Fall für Epsilon größer als 1. Epsilon ist jedoch eine beliebige positive Zahl. Wenn Sie Epsilon=0,1 wählen, dann wäre 11 die kleinste natürliche Zahl, die größer ist als 1/Epsilon. Ferner dürfen Sie kein bestimmtes m benutzen, sondern Ihre Schlussfolgerungen müssen für alle m>n gelten.
Bitte machen Sie sich das klar, denn das ist wichtig für das grundsätzliche Verständnis von vielen Beweisen:
- Es geht um alle Epsilon > 0.
- Es geht um alle m > n.
Wenn Sie ein bestimmtes Epsilon und ein bestimmtes m wählen, dann haben Sie nur diesen einen Spezialfall gezeigt. Es geht aber um alle Epsilon und um alle m.
Ich gebe Ihnen ein einfaches Beispiel:
Sei (a_n):=(1/n), n Element aus N.
(a_n) konvergiert genau dann gegen 0, wenn für alle Epsilon > 0 gilt: Es gibt ein n0 aus N, so dass für alle n > n0 gilt: |a_n-0| 1/Epsilon (so ist n0 ja gewählt) Epsilon > 1/n0 (*). Ferner gilt für alle n > n0:
n > n0 1/n0 > 1/n. Daraus folgt mit (*): 1/n = a_n n0, woraus folgt, dass (a_n) gegen 0 konvergiert, was zu zeigen war.
Wie Sie sehen, habe ich kein besonderes Epsilon und kein besonderes n>n0 gewählt, sondern den Beweis für alle Epsilon und für alle n geführt.
So müssen Sie es auch bei Ihrer Aufgabe machen.
Tipp: Schauen Sie sich doch mal einen Beweis für das Leibnizkriterium an. Mit hoher Wahrscheinlichkeit wird er auf dem Cauchy-Kriterium beruhen. Da Ihre Aufgabe ein Paradebeispiel für die Anwendung des Leibnizkriteriums ist, könnten Sie diesen Beweis auch auf Ihre konkrete Reihe anwenden. Sie werden übrigens staunen, wie wenig Schreibarbeit das machen wird.
Mit freundlichen Grüßen
Thomas Klingbeil
Hallo,
Ich hab eine Aufgabe wo ich fuer
\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k
zeigen soll dass die Folge konvergiert. Ich hab aber keine
ahnung wie ich das machen soll, da ich auch noch nicht so
ganz verstehe wie ich das cauchy-Kriterium ueberhaupt
benutzen kann. Ich weiß dass es ein epsilon gibt das groesser
als der Betrag von a_m-a_n gibt fuer alle n_0 aber so richtig
etwas mit anfangen kann ich damit leider nicht…
Woher weiss ich denn welches epsilon?
Hm, ich zugeben, daß ich mich mit dem Cauchy-Kriterium auch nicht auskenne…
Wenn das stimmt, was auf Wikipedia steht, mußt Du ja zu jedem vorgegebenen \epsilon>0 einen Wert N finden können, so daß für jedes m>n>N die Teilsumme von n bis m nicht mehr als \epsilon beiträgt.
Im Moment sehe ich aber auch nicht, wie man für Dein Beispiel den Beweis führen könnte.
Und wie bekommt man damit einen Grenzwert
So wie ich das sehe, ist der Vorteil des Cauchy-Kriteriums, daß man die Konvergenz beweisen kann, ohne den Grenzwert kennen zu müssen - und das kann ja durchaus ein Vorteil sein!
bzw ob die Folge konvergiert?
Wenn - wie oben geschildert - zu beliebigem \epsilon ein N gefunden werden kann, konvergiert die Folge; wenn man zeigen kann, daß das nicht möglich ist, divergiert sie.
Schöne Grüße,
Manfred
Hi,
Hm, stimmt, ich hab garnicht daran gedacht, dass 1/epsilon ja auch groesser als eins werden kann…
Okay, ich hab es nochmal neu versucht, ich hoffe, dass stimmt so -.-
Also ich hab die Summe(k=0 bis unendlich) von (-1)^(k+1)/k und das ist gleich -a0+a1-a2+… also alternierend. Konvergieren tut die Folge wenn (ak) eine monotone ist, also die Glieder eine nullfolge bilden. Dann ist 0=n0 dann ist |an|=|an-an0| auch = 0 und am-an ist gleich [-(-1)^(n+2)/n+1 + (-1)^(n+3)/n+2] usw wo jede […] groesser gleich null ist also bilden die Klammern eine nullfolge und sie konvergiert.
Ist das so richtig? Das scheint mir alles noch so durcheinander…
(tut mir leid dass ich wohl etwas länger brauche um dahinter zu kommen…)
Lg
Sayuri
Auch Hi
Um den gröbsten Schnitzer gleich vorweg zu nehmen: Ihre Summe startet mit k=1 und nicht mit k=0.
In der Schule hatte ich mal einen Mathematiklehrer, der zu sagen pflegte, dass die Division durch 0 ein Verstoß gegen den Heiligen Geist der Mathematik sei. Sehen Sie, wo Sie durch 0 dividiert haben?
Ansonsten stimme ich Ihnen zu: es ist etwas konfus.
Sie würfeln k, m und n munter durcheinander, was zu sinnlosen Aussagen führt, die dann natürlich verwirren.
Beispiel: Sie schreiben: "0n0 und m>n.
Thomas Alva Edison sen. wird folgendes Bonmot zugeschrieben: „Genius is one per cent inspiration and ninety-nine per cent perspiration.“
Für Sie bedeutet das, dass Sie sehr viel sorgfältiger beim Aufschreiben Ihrer Gedanken sein müssen. Sie bauen sich sonst gleich zu Beginn Flüchtigkeitsfehler ein, die zur Verwirrung und damit auf einen Holzweg führen.
Ich habe noch eine Frage, die ich rein neugierdehalber stelle: Was studieren Sie?
Mit freundlichen Grüßen
Thomas Klingbeil
Hm, stimmt, das ist ziemlich durcheinander geraten…was die bgruendung angeht, ist genau das der Punkt, der mir Probleme macht, ich hab keine Ahnung warum das so ist, bzw wieso das ein Kriterium zur Konvergenz ist, weil wenn zb eben k und n gleich sind und ich die in meine Folge einsetzte, sind die natuerlich auch gleich, da bin ich dann ja eigentlich kein stueck weiter an der Konvergenz, da ich ja nur ein Parameter ausgetauscht bzw umbenannt hab…
Was ich studiere? Wenn man es genau nimmt schaue ich mir gerade verschiedene Vorlesungen an und fange dann erst mit meinem „richtigen Studium“ an. Das hier war zb aus der analysisvorlesung fuer physiker. Ich hab nicht vor Physik oder Mathe zu machen, aber den Rest hab ich soweit bisher hinbekommen nur diese cauchy ergeben fuer mich noch nicht so richtig Sinn, ich komm einfach nicht dahinter wo da ein Beweis liegen soll. Vermutlich koennt ich es auch einfach lassen, aber es stoert mich einfach irgendwie…
Lg
Sayuri
Sie stellen eigentlich zwei Fragen:
- Wie beweise ich mit dem Cauchy-Kriterium, dass meine Folge konvergiert?
- Warum ist das Cauchy-Kriterium ein Beweis.
Letzteres ist eine eigene Vorlesung und sprengt diesen Rahmen. Sie finden aber gewiss einen Beweis für das Cauchy-Kriterium in ihren Vorlesungsunterlagen oder irgendwo im Internet.
Ersteres ist ja die bloße Anwendung des Cauchy-Kriteriums auf eine Aufgabe. Es ist nur wichtig, dass Sie sauber arbeiten. k und n zum Beispiel sind unterschiedliche Dinge. Mit n werden die Glieder der Folge bezeichnet, mit k werden die Glieder der Folge berechnet. Mir fällt dabei übrigens auf, dass ich heute Morgen wohl noch etwas schläfrig war, denn ich bin selber darauf reingefallen.
Es gilt a_n = summe(k von 1 bis n von (-1)^(k+1)/k), und insofern ist |a_m - a_n| = Betrag(Summe(k=n+1 bis m von (-1)^(k+1)/k)), fall m>n.
Den eigentlichen Beweis führen Sie durch Abschätzungen durch. Sei n0 die kleinste natürliche Zahl, die größer ist als 1/Epsilon.
Dann gilt für alle n>n0 und m>n:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehme ich an, dass gilt: (-1)^(n+2)=1. Falls das nämlich nicht der Fall sein sollte, dann multipliziere ich einfach (-1) in den Betrag rein, was am Betrag nichts ändert aber zwischen den Betragsstrichen alle Vorzeichen vertauscht.
Damit gilt Summe(k=n+1 bis m von (-1)^(k+1)/k)
= 1/(n+1) - 1/(n+2) + 1/(n+3) - 1/(n+4) + …
= 1/(n+1) - (1/(n+2)-1/(n+3)) - (1/(n+4)-1/(n+5)) …
0, weil ich lauter positive Zahlen addiere
Dann ist aber
0
Hallo,
Das ist eine mit minus eins multiplizierte alternierende harmonische Reihe, die gegen -ln2 konvergiert.
Weitere Informationen findest Du unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Leibnizkriterium
Dort findet sich auch der Beweis etc.
Das Leibnitzkriterium solltest Du ggf. auswendig für eine Matheklausur kennen.