Hallo !
Wenn ich mir die Mandelbrotmenge anschaue, hat die fraktale Grenzen. So sieht’s aus und so vertehe ich auch die Mathematiker. Wie kann man denn BEWEISEN, daß die Grenzen wirklich fraktal sind und daß das nicht durch die endliche Rechengenauigkeit nur chaotisch aussieht ?
Gruß,
Jochen
Hi,
die Mandebrot-Menge (d.h. ihr Rand) ist nicht im eigentlichen Sinne fraktal, also selbst"ahnlich, sie ist die charakteristische Menge f"ur die Julia-Fraktale (j"uliA, im Lazarett 1.WK).
Aber dieser Rand hat eine Hausdorff-Dimension gr"osser 1 (ist also „unendlich lang“), und das wird auch manchmal als fraktal bezeichnet.
Und rauskriegen: Man baue sich eine Folge von N"aherungen f"ur den Rand und rechne deren L"ange aus.
Ciao Lutz
Fraktale Dimension
Jede fraktale Struktur zeichnet sich dadurch aus, dass die (Wie auch immer im jeweilige Fall definierte) Dichte nicht mit dem Volumen (bzw hier der Fl"ache) steigt, sondern eine andere Funktion des Radius ist - wenn Du um einen Punkt konzentrische Kreise malst, und die Dichte innerhalb der Kreise bestimmst (z.b. die Anzahl der blauen Punkte pro Fl"ache), dann wirst Du feststellen, dass diese Dichte nicht mit R^2 zunimmt, sondern vielleicht mit R^1.7 (ist jetzt geraten). Wenn das so ist, dann ist das der Beweis daf"ur, dass Du es mit einem Fraktal zu tun hast.
Danke Euch beiden !
Kann man denn die Konvergenz der Dimension des Randes (bzw. der Fläche) eines iterativen Systems analytisch bestimmen (ohne die Punkte auszurechnen - denn dann bin ich den Tücken der Rechengenauigkeit ja wieder ausgeliefert) ?
Gruß
Jochen
Hi Jochen
Die ersten diesbezüglichen Überlegungen gehen auf Arbeiten der französischen Mathematiker Julia und Fatou zurück, sowie auf Studien der Phasenraum-Bewegungen nichtlinearer Systeme durch Poincaré (Anfang 1900):
Man betrachte die Wertefolge der Rekursion bestimmter komplexer Funktionen z(n+1) ← f(c, z(n)). c und z sind komplexe Zahlen. Diese Wertefolge nennt man Orbit. Diese Orbits sind im allgemeinen „instabil“, d.h. die Werte divergieren (laufen gegen unendlich).
Unter bestimmten Anfangsbedingungen z(0) und Randbedingungen c sind diese Orbits aber „stabil“, und zwar entweder so, daß die Werte gegen einen eindeutigen Grenzwert laufen (1-Zyklus) oder sich periodisch wiederholen (n-Zyklus). Diese Grenzwerte nennt man Attraktoren. Julia und Fatou konnten beweisen, daß die Menge der Punkte, deren Attraktoren stabil sind, zusammenhängend ist und die Menge der Punkte mit instabilen Attraktoren nichtzusammenhängend (Fatou-dust).
Das interessante ist, daß man diese Eigenschaften beweisen konnte lange bevor es möglich war, diese Mengen computergraphisch sichtbar zu machen!
Die n-zyklischen Lösungen mit ihrer Eigenschaft, selbstähnlich zu sein (Auto-Isomorphismen) hat man später erst entdeckt (Mandelbrot).
Im Falle der Stabilität betrachtet man nun den Rand der zusammenhängenden Menge der zugehörigen Z-Werte, den man Julia-Menge nennt. Julia hat dann bewiesen, daß dieser Rand NIRGENDWO differenzierbar ist: diese Eigenschaft hat man später (ebenfalls Mandelbrot) „fraktal“ genannt.
Die Julia-Mengen liegen in der z-Ebene. Sie sind autoisomorph (skaleninvariant oder „selbstähnlich“). Das heißt, daß in jeder Teilmenge wieder mindestens ein Rand liegt, der mit der gesamten Menge isomorph ist. Wenn man die zu den Werten z(0)=(0,0) gehörigen n-zyklischen c-Werte in der c-Ebene aufträgt, bekommt man die Mandelbrot-Menge der Rekursion. Die Mandelbrotmengen sind nicht selbstähnlich (die „Unter“-Apfelmännchen sind deformiert - allerdings findet man auch solche, die isomorph zur gesamten Menge sind), aber doch auch zusammenhängend.
Zusätzlich konnte man beweisen (wie es Gnlwth andeutete). daß die Ränder dieser Mengen eine Dimension > 1 besitzen. Der Rand der Mandelbrotmenge hat sogar die Dimension 2 !
Gruß
M.G.
Hallo !
Besten Dank für diese gute Antwort !
Im Falle der Stabilität betrachtet man nun den Rand der
zusammenhängenden Menge der zugehörigen Z-Werte, den man
Julia-Menge nennt. Julia hat dann bewiesen, daß dieser Rand
NIRGENDWO differenzierbar ist: diese Eigenschaft hat man
später (ebenfalls Mandelbrot) „fraktal“ genannt.
…
Bedeutet das, daß man, egal welchen Punkt des Randes man betrachtet, keine Aussage machen kann über die direkte Nachbarschaft dieses Punktes ? Das würde für mich erklären, warum der Rand „chaotisch“ sein sollte.
Zusätzlich konnte man beweisen (wie es Gnlwth andeutete), daß
die Ränder dieser Mengen eine Dimension > 1 besitzen. Der
Rand der Mandelbrotmenge hat sogar die Dimension 2 !
Hier kommt mir die Frage, ob die Regeln zur Differenzierung auf Objekte mit gebrochnene Dimensionen anwendbar sind (und nicht vielleicht ein Grenzfall, der nur bei ganzzahligen Dim Lösungen ergibt). Hat man das bewiesen ?
Grüße
Jochen
Bedeutet das, daß man, egal welchen Punkt des Randes man
betrachtet, keine Aussage machen kann über die direkte
Nachbarschaft dieses Punktes ? Das würde für mich erklären,
warum der Rand „chaotisch“ sein sollte.
Jein, stetig ist der Rand schon, sofern es ein Inneres gibt. Dort, wo das Apfelmännchen schwarz ist, gibt es ein Inneres der Julia-Menge. Und stetig sagt auch schon was über die Nachbarschaft.
Hier kommt mir die Frage, ob die Regeln zur Differenzierung
auf Objekte mit gebrochnene Dimensionen anwendbar sind (und
nicht vielleicht ein Grenzfall, der nur bei ganzzahligen Dim
Lösungen ergibt). Hat man das bewiesen ?
Auch wieder jein: „Gewöhnliches“ Differenzieren bzw. Glattheit ist die lokale Vergleichbarkeit mit Vektorräumen bei hinreichend grosser Vergrösserung. Egal wie Du ein Fraktal vergrößerst, es wird nicht mit einem linearen Raum vergleichbar.
Es gibt aber Versuche in der nichtkommutativen Geometrie (sowas wie die Esoterik der Mathematik: Alain Connes), etwas ähnliches wie Differentialrechnung auch in fraktalen Dimensionen zu betreiben. Die zahmeren Beispiele benutzen „nur“ abzählbar unendlich dimensionale Objekte.
Ciao Lutz