Hallo,
mich hat heute die Frage beschäftigt, ob folgende Behauptung haltbar ist:
Eine NxN-Matrix ist diagonalisierbar GENAU DANN, WENN ihr Charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Ich war erst überzeugt, dass das NICHT richtig ist, denn es können ja Eigenwerte zusammenfallen, und dann hat man keine Linearfaktoren, wobei aber trotzdem die Möglichkeit besteht, dass man N unabhängige Eigenvektoren findet(das hängt dann von der Dimension der jeweiligen Eigenräume ab).
Dann habe ich mich aber gefragt, wie die Sache im Komplexen aussieht. Dann zerfällt ja eigentlich jedes Polynom in Linearfaktoren.
Ist die Richtigkeit der Aussage also von der Wahl des Grundkörpers abhängig??
Im Voraus vielen Dank für Rückmeldung,
Mfg,
Jonas
Hallo Jonas,
Eine NxN-Matrix ist diagonalisierbar GENAU DANN, WENN ihr
Charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Ich war erst überzeugt, dass das NICHT richtig ist, denn es
können ja Eigenwerte zusammenfallen, und dann hat man keine
Linearfaktoren, wobei aber trotzdem die Möglichkeit besteht,
dass man N unabhängige Eigenvektoren findet(das hängt dann von
der Dimension der jeweiligen Eigenräume ab).
Diese Behauptung stimmt in der Tat so nicht. Allerdings ist die Begründung nicht vollständig. Du hast recht, man muß eigentlich schreiben, daß eine nxn-Matrix über einem Körper K diagonalisierbar (oder eben auch nicht diagonalisierbar) ist.
Die Diagonalisierbarkeit ist z.B. bei den reellen Zahlen nicht gegeben. Beispiel:A = (a_ij) mit a_11 = 0; a_12 = 1; a_21 = -1; a_22 = 0. Das ist eine Drehung um 90° im Zweidimensionalen. Die hat keine reellen Eigenwerte oder -vektoren, wie man sich leicht anschaulich überlegen kann.
Dann habe ich mich aber gefragt, wie die Sache im Komplexen
aussieht. Dann zerfällt ja eigentlich jedes Polynom in
Linearfaktoren.
Die Diagonalisierbarkeit ist aber auch bei algebraisch vollständigen Körpern (wie z.B. dem Körper der komplexen Zahlen) nicht unbedingt gegeben. Beispiel: B = (b_ij) mit b_11 = 1; b_12 = 1; b_21 = 0; b_22 = 1. (Also Einsen auf der Diagonalen und auf der oberen Nebendiagonale). Der Endomorphismus hat zwei reelle Eigenwerte: 1 mit der (algebraischen) Vielfachheit 2. Allerdings wirst du keine Basis finden, die daraus eine Diagonalform macht.
Ergo: Die Bedingung oben (char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren) ist notwendig, aber nicht hinreichend.
Ist die Richtigkeit der Aussage also von der Wahl des
Grundkörpers abhängig??
Nein, siehe oben.
Chris
Hallo Christian,
erstmal danke für die schnelle Antwort:smile:
Diese Behauptung stimmt in der Tat so nicht. Allerdings ist
die Begründung nicht vollständig. Du hast recht, man muß
eigentlich schreiben, daß eine nxn-Matrix über einem Körper K
diagonalisierbar (oder eben auch nicht diagonalisierbar) ist.
Die Diagonalisierbarkeit ist z.B. bei den reellen Zahlen nicht
gegeben. Beispiel:A = (a_ij) mit a_11 = 0; a_12 = 1; a_21 =
-1; a_22 = 0. Das ist eine Drehung um 90° im
Zweidimensionalen. Die hat keine reellen Eigenwerte oder
-vektoren, wie man sich leicht anschaulich überlegen kann.
Aber in diesem Fall zerfällt das Charakteristische Polynom auch nicht in Linearfaktoren!Wenn ich mich nicht irre ist F(x)=x^2+1, also über R nicht mehr zerlegbar. Die Frage, die ich mir daraufhin gestellt habe ist also, ob es diagnalisierbare Matrizen gibt, deren char. Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt.
Z.B.
(4 1 -1)
(2 5 -2)=> F(x)=x^3-11x^2+39x-45=(x-5)(x-3)^2
(1 1 2)
Diese Matrix ist diagonalisierbar, wie man leicht nachprüfen kann. Zählt der Ausdruck(x-3)^2 dann quasi als zwei Linearfaktoren? Dann würde auch dieses Polynom in Linearfaktoren zerfallen, und ich vermute mal, man findet keine Matrix, deren Polynom NICHT in Linearfaktoren zerfällt, die aber trotzdem diagonalisierbar ist, was ja auch mit Deiner Aussage weiter unten übereinstimmt.
(ich glaub mein Denkfehler war dass ich (x-3)^2 nicht als Linearfaktor betrachtet habe)
Die Diagonalisierbarkeit ist aber auch bei algebraisch
vollständigen Körpern (wie z.B. dem Körper der komplexen
Zahlen) nicht unbedingt gegeben. Beispiel: B = (b_ij) mit b_11
= 1; b_12 = 1; b_21 = 0; b_22 = 1. (Also Einsen auf der
Diagonalen und auf der oberen Nebendiagonale). Der
Endomorphismus hat zwei reelle Eigenwerte: 1 mit der
(algebraischen) Vielfachheit 2. Allerdings wirst du keine
Basis finden, die daraus eine Diagonalform macht.
In diesem Fall ist ja F(x)= (x-1)^2=(x+i)(x-i)
Der Eigenwert ist aber trotzdem 1. Man könnte doch genausogut sagen, es gibt zwei (komplexe)Eigenwerte, +i und -i, da diese Nst. des char. Polynoms sind. Sind das gleichbedeutende Aussagen? Gibt es überhaupt den Begriff komplexe Eigenwerte(wiel ich bisher nur von „reellen EW“ gehört habe?
MFG
Jonas
Hallo Jonas,
Diese Matrix ist diagonalisierbar, wie man leicht nachprüfen
kann. Zählt der Ausdruck(x-3)^2 dann quasi als zwei
Linearfaktoren?
Ja, zählt er, Linearfaktoren und deren Potenzen sind zulässig. Falls Du ein Lehrbuch zur Hand hast (oder google), schlage einmal beim Stichwort „Irreduzibilität“ nach. Da dürftest Du fündig werden. Allerdings muss eine Matrix, die vollständig in Linearfaktoren (und deren Potenzen) zerfällt, noch nicht zwangsläufig diagonalisierbar (eine nxn-Matrix hat n Eigenwerte) sein. Manchmal ist sie auch nur triagonalisierbar (die Eigenwerte sind paarweise verschieden).
Dann würde auch dieses Polynom in
Linearfaktoren zerfallen, und ich vermute mal, man findet
keine Matrix, deren Polynom NICHT in Linearfaktoren zerfällt,
die aber trotzdem diagonalisierbar ist, was ja auch mit Deiner
Aussage weiter unten übereinstimmt.
Das ist es ja eben. Zumindest in R gilt diese Aussage (bei C bin ich mir jetzt grad nicht so sicher). Dieser Zusammenhang wird dann auch bei der JNF herangezogen.
Gruß sannah