Hallo,
ich soll zeigen, dass eine notw. Bedingung für eine Minimalkostenkombination im Falle der Cobb DOuglas Produktionsfunktion gilt:
w/r=(alpha x k*)/(beta x l*) wobei f(l,k)=c x l^alpha x k^beta
Ich bin etwas ratlos 
Beim Umrechnen der Funktion in die technische Rate der SUbstitution komme ich nicht auf den Quotienten.
Bin für jede Hilfe dankbar!
hallo flavours,
Zuerst die MRTS(grenzrate der technischen Susbstitution)!
Ist definiert als der Differentialquotient von L und K! (dL/dK) oder umgekehrt.
Die bekommst du in dem du das totale Differential null setzt und nach
(dL/dK) umstellst.
df=c*alpha*L^(alpha-1)*K^(beta)*dL+c*beta*L^(alpha)*K^(beta-1)*dK=0
Umstellen liefert:
dL/dK=-[(beta*L)/(alpa*K)]
Dies ist die technische Rate der Substitution.
Aber dies nur nebenher. Nun schauen wir mal, wie ein Produzent seinen Gewinn maximiert.
G=P*Y-w*L-r*K ( also Preis mal Menge minus Kosten)
dG/dL=P*dY/dL-w=0
P=w/(dY/dL)
dG/dK=P*dY/dK-r=0
P=r/(dY/dK)
Da der Preis ja in beiden Fällen der gleiche ist, kann man nun die Gleichungen gleich setzen.
w/(dY/dL)=r/(dY/dK)
umstellen:
w/r=(dY/dL)/(dY/dK)
einsetzen:
w/r=[c*alpha*L^(alpha-1)*K^(beta)]/[c*beta*L^(alpha)*K^(beta-1)]
zusammenfassen und Kürzen:
w/r=(alpha*K)/(beta*L)
Und das Sternchen kannste noch ransetzen, wenn es die L und K sind, die die Gleichung erfüllen.(die optimalen)
Danke sehr! 