Hallo,
wir stellen ja alle Elemente aus Q durch ein Polynom dar, wobei jeder Koeffizient ein Element der Menge A:= {0,1,2…,9} ist.
Soweit richtig?
Wie kann man aber beweisen, dass man mit diesem Konstrukt auch wirklich eine bijektive Abbildung A->Q geschaffen hat, also auch wirklich alle Zahlen wie aus dem Alltag gewohnt durch ein Polynom zur Basis 10 darstellen kann?
Vielen Dank
Tim
Hallo,
wir stellen ja alle Elemente aus Q durch ein Polynom dar,
wobei jeder Koeffizient ein Element der Menge A:= {0,1,2…,9}
ist.
Soweit richtig?
Keine Ahnung. Erklär mal, wie dieses Polynom gebildet wird. Ich kenne diese Darstellung nicht. Meinst du eventuell die Dezimalzifferdarstellung
q = summe a_i 10^i? mit a_i aus {0; 1; 2; …;9}?
Das ist aber kein Polynom, da der Index durchaus negativ sein kann (und es keine Variable gibt). Bei periodisch-rationalen Zahlen ist die Summe sogar unendlich.
Wie kann man aber beweisen, dass man mit diesem Konstrukt auch
wirklich eine bijektive Abbildung A->Q geschaffen hat,
Gar nicht. Es gibt keine bijektive Abbildung von einer endlichen Menge in eine unendliche.
Gruß Bombadil
Hallo Tim,
Du vermischst in Deiner Frage gefühlte 100 verschiedene Dinge. Dröseln wir’s mal auf:
Wir können die rationalen Zahlen (also die Brüche) durch Dezimalzahlen (also Zahlen der Form
\sum_{i=-\infty}^n a_i 10^i,
wobei ai eine Ziffer zwischen 0 und 9 ist und n endlich) darstellen. Soweit richtig.
Damit kannst Du tatsächlich alle Zahlen darstellen, denn Du kannst ja einfach schriftlich dividieren:
23,00000:5=4
20,00000
--
3,0 ,6
---
00000 00000
--------
4,600000.
Wenn Du Pech hast, kommt was unendliches raus:
2,00000:3=0,6
1,8
---
20 6
18
--
20 6...
--------
0,66666;
aber das stört uns nicht weiter, denn wir wissen, dass diese Zahl kleiner als 1 und damit endlich ist.
Nun zur Bijektivität: Nicht jede Dezimalzahl beschreibt einen Bruch! Sonst hätten wir keine irrationalen Zahlen. Du kannst gut und gern π oder e oder die Wurzel aus 2 als Dezimalzahl schreiben, aber diese Zahlen sind nicht in Q. Demnach gibt es keine bijektive Abbildung von Q auf die Menge der Dezimalbrüche.
Aber: Jeder endliche Dezimalbruch und jeder periodische Dezimalbruch beschreiben rationale Zahlen. Das kannst Du einfach ausrechnen, z.B.
0,153782 * 1.000.000 = 153.782, also
0,153782 = 153.782/1.000.000. (Kann man jetzt noch kürzen.)
1.000.000 \* 0,153782.3782.3782... = 153782,3782.3782.3782.3782...
100 \* 0,153782.3782.3782... = 15,3782.3782.3782.3782...
--------- -----------------------------
999.900 \* 0,153782.3782.3782... = 153767,0000000000..., also
0,153782.3782.3782… = 153767/999.900.
Andererseits wird auch jede rationale Zahl durch einen endlichen oder einen periodischen Bruch beschrieben. Das kann ich jetzt spontan nicht begründen, man müsste sich halt überlegen, wodurch die Nachkommastellen zustandekommen, und dann sieht man sicherlich, dass sich das nach einer gewissen Zeit wiederholt. Im Prinzip ist das eine Frage der Zahlentheorie. Da lernt man dann auch, wie man dem Nenner ansehen kann, wie lang Vorperiode und Periode jeweils sind; aber ich hab’s leider wieder vergessen.
Somit existiert also eine bijektive Abbildung von Q auf die Menge der endlichen oder periodischen Dezimalbrüche.
Liebe Grüße
Immo
Ergänzung
Aber wir stellen doch unsere Zahlen, wie wir sie kennen, so dar:
…x_2*10^2+x_1*10^1+x_0*10^0+x_-1*10^-1…
Wir lassen die Potenzen weg und schreiben …x_2x_1x_0_,x_-1…
weil wir jeder stelle dann die entsprechende Potenz zuordnen.
Nun muss man doch irgendwie beweisen, dass man die reellen Zahlen (ist klar, dass spt(2) nur näherungsweise damit angegeben werden kann) damit darstellen kann bzw. nur endlichen Zahlen inklusive die Nachkommastellen.
Mögliches Vorgehen
Also,
du musst zeigen,
a) dass jede reelle Zahl als unendliche (!) Summe der Terme a_i10^i darstellbar ist;
b) dass diese Darstellung eindeutig ist. (Nee, kann man nicht zeigen, da 0,999999… = 1,000000… - Okay vergiss b)
Bei a) fällt mir eine Intervallschachtelung ein.
Jede reelle Zahl r ist als Punkt auf einer Geraden (Zahlengerade) dargestellbar. Es gibt eine ganze Zahl g derart, dass g